Lemme 3Changement de variables

Image d'un petit cube par une application de classe C¹

Dans la suite du chapitre, ${\mathbb R^n}$ est muni de $\|\cdot\| = \|\cdot\|_\infty$ , et les matrices de la norme subordonnée $|||\cdot|||$ . Pour $c \in \mathbb R^n$ et $r > 0$ , on note $\begin{aligned} C(c, r) &= c + [-r, r]^n, \\ B(c, r) &= c + \,]{-r}, r[^n \end{aligned}$ la boule fermée et la boule ouverte de centre $c$ et de rayon $r$ , qui sont des cubes.

Pour un borélien $W$ et une fonction borélienne $f : W \to {[0, +\infty]}$ , on note $\int_W f\,d\lambda$ l'intégrale sur $\mathbb R^n$ de la fonction égale à $f$ sur $W$ et à $0$ ailleurs, qui est borélienne. Une fonction borélienne réelle $f$ sur $W$ est intégrable sur $W$ si cette fonction prolongée est intégrable.

Énoncé

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$ , $\varphi : U \to \mathbb R^n$ de classe C^1, $c \in U$ et $r > 0$ tels que $C(c, r) \subset U$ , et $L = d\varphi(c)$ inversible. Soit $\eta \geqslant 0$ tel que, pour tout $z \in C(c, r)$ , $|||L^{-1}\,d\varphi(z) - I||| \leqslant \eta.$

(i) Inclusion extérieure. On a $\varphi(C(c, r)) \subset \varphi(c) + L\big(C(0, (1 + \eta)r)\big)$ .

(ii) Inclusion intérieure. Si $\eta < 1$ , on a $\varphi(B(c, r)) \supset \varphi(c) + L\big(B(0, (1 - \eta)r)\big)$ .

(iii) Mesures. Supposons de plus que $\varphi$ soit un C^1-difféomorphisme de $U$ sur un ouvert $V$ , et soit $P$ un borélien tel que $B(c, r) \subset P \subset C(c, r)$ . Alors $\varphi(P)$ est borélien et $\lambda(\varphi(P)) \leqslant |\det L|\,(1 + \eta)^n\,\lambda(P),$ et, si $\eta < 1$ , $\lambda(\varphi(P)) \geqslant |\det L|\,(1 - \eta)^n\,\lambda(P).$

Démonstration

Un écart lipschitzien. L'application $g = L^{-1} \circ \varphi - \mathrm{id}$ est de classe $C^1$ sur $U$ , de différentielle $dg(z) = L^{-1}\,d\varphi(z) - I$ (Différentielle, (iii) et (iv)). Sur la boule ouverte $B(c, r)$ , qui est convexe, $|||dg||| \leqslant \eta$ , et l'inégalité des accroissements finis (Accroissements finis, (ii)) donne $\|g(x) - g(x')\| \leqslant \eta\,\|x - x'\|.$ Par continuité de $g$ , cette inégalité s'étend aux points $x, x'$ de $C(c, r)$ , qui sont limites de points de $B(c, r)$ : $x$ est la limite de $c + (1 - \frac{1}{k + 1})(x - c)$ .

(i) Pour $x \in C(c, r)$ , $\begin{aligned} &L^{-1}\big(\varphi(x) - \varphi(c)\big) \\ &\quad = (x - c) + \big(g(x) - g(c)\big), \end{aligned}$ qui est de norme au plus $r + \eta r$ . Donc $\varphi(x) \in \varphi(c) + L\big(C(0, (1 + \eta)r)\big)$ .

(ii) Soit $w \in B(0, (1 - \eta)r)$ , et $T(x) = c + w - \big(g(x) - g(c)\big)$ . Pour $x \in C(c, r)$ , $\|T(x) - c\| \leqslant \|w\| + \eta r < r,$ si bien que $T$ envoie le fermé $C(c, r)$ dans $B(c, r)$ ; elle est contractante de rapport $\eta < 1$ .

Par le théorème du point fixe (Point fixe, (ii)), $T$ a un point fixe $x$ , qui appartient à $B(c, r)$ . L'égalité $x = T(x)$ s'écrit $(x - c) + g(x) - g(c) = w$ , c'est-à-dire $L^{-1}(\varphi(x) - \varphi(c)) = w$ , soit $\varphi(x) = \varphi(c) + Lw$ .

Pour

\varphi(x, y) = (x - \frac{y^2}2, y + \frac{x^2}3)

c = (\frac12, \frac12)

r = \frac14

, le plus petit

\eta

possible vaut

\frac27

; il est calculé exactement, la norme de

L^{-1}d\varphi(z) - I

étant une fonction convexe de

z

, maximale en un sommet du carré. L'image du carré, en rouge, est prise entre le parallélogramme vert pointillé, de rapport

1 - \eta

, et le parallélogramme bleu pointillé, de rapport

1 + \eta

; le parallélogramme bleu plein,

\varphi(c) + L(C(0, r))

, est l'image que donnerait l'approximation affine de

\varphi

(iii) L'ensemble $\varphi(P)$ est l'image réciproque de $P$ par $\varphi^{-1}$ , continue sur $V$ : il est borélien (Lebesgue sur ℝⁿ, (i)). Par (i), (ii) et la croissance de $\lambda$ , la mesure $\lambda(\varphi(P))$ est majorée par celle de $\varphi(c) + L\big(C(0, (1 + \eta)r)\big)$ et, si $\eta < 1$ , minorée par celle de $\varphi(c) + L\big(B(0, (1 - \eta)r)\big)$ .

Par le nœud Image linéaire, (ii), et le nœud Lebesgue sur ℝⁿ, (iv), ces mesures valent $|\det L|\,\big(2(1 + \eta)r\big)^n$ et $|\det L|\,\big(2(1 - \eta)r\big)^n$ , et $\lambda(P) = (2r)^n$ .

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Remarque

Les deux inclusions sont de nature différente. La première ne demande que les accroissements finis. La seconde affirme que l'image recouvre tout un parallélépipède : c'est un énoncé d'existence, obtenu par le point fixe, comme l'étape 2 de l'inversion locale. Sans elle, on n'aurait qu'une majoration de $\lambda(\varphi(P))$ ; pour la minorer, il faudrait appliquer la majoration à $\varphi^{-1}$ , sur les images de cubes, qui ne sont plus des cubes.

Remarque

L'hypothèse porte sur l'écart relatif $L^{-1}d\varphi(z) - I$ , et non sur l'écart absolu $d\varphi(z) - L$ . L'erreur serait de croire qu'une petite variation de $d\varphi$ suffit toujours. Pour $L = \operatorname{diag}(1, 10^{-3})$ et $d\varphi(z) = L + 10^{-2}E_{21}$ , l'écart absolu vaut $10^{-2}$ , mais $L^{-1}d\varphi(z) - I = 10\,E_{21}$ est de norme $10$ : la direction que $L$ écrase est perturbée bien plus qu'elle n'est conservée, et le parallélépipède $\varphi(c) + L(C(0, r))$ n'approche plus l'image.

Repose sur

Image de la mesure de Lebesgue par une application linéaire

Sert à

Mesure de l'image d'un cube par un difféomorphisme