La mesure de Lebesgue sur ℝⁿ

(i) Images réciproques. Soit $h : W \to \mathbb R^p$ continue. L'ensemble des parties $B$ de $\mathbb R^p$ telles que $h^{-1}(B) \in \mathcal B(W)$ est une tribu (Tribus, (iv)). Elle contient les ouverts : si $O$ est ouvert, $h^{-1}(O)$ est un ouvert de $W$ pour la topologie induite, donc de la forme $O' \cap W$ avec $O'$ ouvert, et c'est un ouvert de $\mathbb R^n$ puisque $W$ en est un. Elle contient donc $\mathcal B(\mathbb R^p)$.

Les pavés engendrent les boréliens. Un pavé est borélien, puisque $$\prod_i \,]a_i, b_i] = \bigcap_{k \in \mathbb N} \prod_i \,\Big]a_i, b_i + \frac{1}{k + 1}\Big[$$ est une intersection dénombrable d'ouverts de la topologie produit.

Réciproquement, soit $O$ un ouvert et $x \in O$. Il existe $r > 0$ tel que la boule $B_\infty(x, r)$ soit contenue dans $O$, puis, par densité de ${\mathbb Q}$ (Archimède, densité de ℚ, (ii)), des rationnels $a_i \in \,]x_i - r, x_i[$ et $b_i \in \,]x_i, x_i + r[$. Le pavé $\prod_i \,]a_i, b_i]$ contient $x$ et est contenu dans $B_\infty(x, r)$, donc dans $O$.

Ainsi $O$ est la réunion des pavés à extrémités rationnelles contenus dans $O$. Cette famille est définie par compréhension, sans aucun choix, et indexée par une partie de $\mathbb Q^{2n}$, qui est dénombrable (ℚ est dénombrable, (ii)). Les ouverts appartiennent donc à la tribu engendrée par les pavés (Tribus, (i)), et celle-ci est $\mathcal B(\mathbb R^n)$.

La tribu produit. Un pavé de $\mathbb R^n$ s'écrit $P' \times \,]a_n, b_n]$, où $P'$ est un pavé de $\mathbb R^{n-1}$, borélien par ce qui précède. Il appartient à $\mathcal B(\mathbb R^{n-1}) \otimes \mathcal B(\mathbb R)$, qui contient donc $\mathcal B(\mathbb R^n)$.

Inversement, si $A \in \mathcal B(\mathbb R^{n-1})$ et $B \in \mathcal B(\mathbb R)$, alors $A \times B = p^{-1}(A) \cap q^{-1}(B)$, où $p$ et $q$ sont les projections sur $\mathbb R^{n-1}$ et sur la dernière coordonnée, linéaires donc continues. Par le premier point, $A \times B$ est borélien, et la tribu produit est contenue dans $\mathcal B(\mathbb R^n)$.

(ii) Par récurrence sur $n$. Pour $n = 1$, c'est le nœud Mesure de Lebesgue, (ii) et (iii), et $\lambda_1$ est σ-finie, avec $\lambda_1(]{-k}, k]) = 2k$.

Si l'énoncé vaut pour $n - 1$, les mesures $\lambda_{n-1}$ et $\lambda_1$ sont σ-finies, et leur produit est défini sur $\mathcal B(\mathbb R^{n-1}) \otimes \mathcal B(\mathbb R) = \mathcal B(\mathbb R^n)$. Sur un pavé $P' \times \,]a_n, b_n]$, il vaut $\lambda_{n-1}(P')\,(b_n - a_n)$ (Mesure produit, (iii)), d'où la formule ; les pavés $]{-k}, k]^n$ croissent vers $\mathbb R^n$ et sont de mesure $(2k)^n$.

Unicité. Les pavés et le vide forment un π-système, l'intersection de deux pavés étant vide ou égale à $\prod_i \,]\max(a_i, a'_i), \min(b_i, b'_i)]$. Il engendre $\mathcal B(\mathbb R^n)$ par (i), et l'unicité du nœud Classes monotones, (ii), s'applique avec $X_k = \,]{-k}, k]^n$.

(iii) L'ensemble $E + t$ est l'image réciproque de $E$ par la translation continue $x \mapsto x - t$, donc borélien par (i). L'application $E \mapsto \lambda(E + t)$ est une mesure, la translation étant bijective. Elle vaut $\prod_i (b_i - a_i)$ sur le pavé $\prod_i \,]a_i, b_i]$, dont le translaté est $\prod_i \,]a_i + t_i, b_i + t_i]$ ; par l'unicité de (ii), elle égale $\lambda$.

De même, $P_\sigma(E)$ est l'image réciproque de $E$ par l'application linéaire $P_{\sigma^{-1}}$, réciproque de $P_\sigma$. La $\sigma(j)$-ième coordonnée de $P_\sigma(x)$ est $x_j$ : $P_\sigma$ envoie le pavé $\prod_j \,]a_j, b_j]$ sur le pavé dont le $\sigma(j)$-ième facteur est $]a_j, b_j]$, qui a le même produit de longueurs, et l'unicité de (ii) conclut.

(iv) Pour $n = 1$, l'hyperplan est le singleton $\{c\}$, négligeable (Mesure de Lebesgue, (iv)). Pour $n \geqslant 2$, l'hyperplan $\{x : x_n = c\}$ est le produit $\mathbb R^{n-1} \times \{c\}$. Par le nœud Mesure produit, (iii), sa mesure est $\lambda_{n-1}(\mathbb R^{n-1}) \cdot \lambda_1(\{c\}) = (+\infty) \cdot 0 = 0$, avec la convention du nœud Sommes dans [0, +∞]. Pour $i < n$, l'application $P_\sigma$ associée à la transposition $\sigma = (i\ n)$ envoie $\{x_n = c\}$ sur $\{x_i = c\}$, et (iii) conclut.

Enfin, le produit des segments $[a_i, b_i]$ privé du produit des intervalles ouverts $]a_i, b_i[$ est contenu dans la réunion des $2n$ hyperplans $\{x_i = a_i\}$ et $\{x_i = b_i\}$, qui est négligeable. Le produit ouvert, le pavé et le produit fermé ont donc la même mesure, $\prod_i (b_i - a_i)$, et tout produit d'intervalles compris entre le premier et le dernier aussi, par croissance de $\lambda$.