Théorème 1Mesure, intégration

Lemme de Dynkin et unicité des mesures

Une partie $\mathcal C$ de ${\mathcal P}(X)$ est un π-système si elle est stable par intersection finie. Elle est une classe monotone (ou λ-système) si elle contient $X$ , contient $B \setminus A$ dès que $A \subset B$ sont dans $\mathcal C$ , et contient la réunion de toute suite croissante d'éléments de $\mathcal C$ .

Énoncé

(i) Lemme de Dynkin. La classe monotone engendrée par un π-système $\mathcal C$ est la tribu $\sigma(\mathcal C)$ .

(ii) Unicité. Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur $\sigma(\mathcal C)$ , où $\mathcal C$ est un π-système, qui coïncident sur $\mathcal C$ . S'il existe une suite croissante $(X_n)$ d'éléments de $\mathcal C$ , de réunion $X$ , telle que $\mu(X_n) = \nu(X_n) < +\infty$ , alors $\mu = \nu$ .

Démonstration

(i) Soit $\mathcal D$ la classe monotone engendrée par $\mathcal C$ , intersection des classes monotones contenant $\mathcal C$ . Une tribu est une classe monotone, donc $\mathcal D \subset \sigma(\mathcal C)$ .

Montrons que $\mathcal D$ est un π-système. L'ensemble $\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D : A \cap C \in \mathcal D \text{ pour tout } C \in \mathcal C\}$ est une classe monotone, car $(B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus (A \cap C)$ et l'intersection commute aux réunions croissantes ; il contient $\mathcal C$ , donc égale $\mathcal D$ .

De même, $\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D : A \cap B \in \mathcal D \text{ pour tout } B \in \mathcal D\}$ est une classe monotone qui contient $\mathcal C$ , par ce qui précède ; donc $\mathcal D_2 = \mathcal D$ .

Une classe monotone stable par intersection finie est une tribu : elle contient $A^c = X \setminus A$ , puis $A \cup B = (A^c \cap B^c)^c$ , et la réunion d'une suite est la réunion croissante de ses réunions finies. Donc $\mathcal D$ est une tribu contenant $\mathcal C$ , et $\mathcal D = \sigma(\mathcal C)$ .

(ii) Supposons d'abord $\mu(X) = \nu(X) < +\infty$ . Le système $\mathcal C' = \mathcal C \cup \{X\}$ est encore un π-système, puisque $X \cap C = C$ , sur lequel $\mu$ et $\nu$ coïncident, et $\sigma(\mathcal C') = \sigma(\mathcal C)$ , toute tribu contenant $X$ . L'ensemble des $A \in \sigma(\mathcal C)$ tels que $\mu(A) = \nu(A)$ est une classe monotone : il contient $X$ , la différence se traite par Mesures, (i), qui s'applique car les mesures sont finies, et les réunions croissantes par la continuité croissante. Il contient $\mathcal C'$ , donc $\sigma(\mathcal C') = \sigma(\mathcal C)$ par (i).

Dans le cas général, on applique ce cas aux mesures $A \mapsto \mu(A \cap X_n)$ et $A \mapsto \nu(A \cap X_n)$ , qui coïncident sur $\mathcal C$ puisque $A \cap X_n \in \mathcal C$ , et qui donnent à $X$ la même valeur finie $\mu(X_n) = \nu(X_n)$ ; puis $\begin{aligned} \mu(A) &= \lim_n \mu(A \cap X_n) \\ &= \lim_n \nu(A \cap X_n) = \nu(A). \end{aligned}$

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Remarque

L'hypothèse de finitude est nécessaire. Sur ${\mathcal B}({\mathbb R})$ , la mesure de comptage et la mesure qui vaut $+\infty$ sur toute partie non vide coïncident sur le π-système formé de $\varnothing$ et des intervalles $]a, b]$ avec $a < b$ , puisqu'elles valent toutes deux $0$ sur le vide et $+\infty$ sur chaque intervalle, sans être égales : la première donne $1$ à un singleton.

Repose sur

Mesures et premières propriétés

Sert à

La mesure de Lebesgue sur ℝ Tribu produit et mesure produit