Cubes dyadiques et décomposition des ouverts

(i) Un point $x$ appartient à $Q_{k,m}$ si et seulement si $m_i < 2^k x_i \leqslant m_i + 1$ pour tout $i$. Pour tout réel $u$, il existe un unique entier $m$ tel que $m < u \leqslant m + 1$, par la propriété d'Archimède (Archimède, densité de ℚ), comme pour la partie entière (Fonctions étagées) : les cubes de niveau $k$ partitionnent $\mathbb R^n$.

L'équivalence entre $m < u \leqslant m + 1$ et $2m < 2u \leqslant 2m + 2$ montre que l'entier associé à $2u$ est $2m$ ou $2m + 1$. Ainsi $$Q_{k,m} = \bigcup_{\varepsilon \in \{0, 1\}^n} Q_{k+1,\, 2m + \varepsilon},$$ réunion disjointe.

Par récurrence, un cube de niveau $k$ est, pour tout $j \geqslant k$, la réunion des cubes de niveau $j$ qu'il contient ; pour tout $j \leqslant k$, il est contenu dans un cube de niveau $j$, unique par la partition. Si $Q$, de niveau $k$, rencontre $Q'$, de niveau $j \leqslant k$, le cube de niveau $j$ qui contient $Q$ rencontre $Q'$, donc lui est égal : $Q \subset Q'$.

La mesure vaut $(2^{-k})^n$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (ii)). Enfin, deux réels d'un même intervalle $]a, a + 2^{-k}]$ sont à distance strictement inférieure à $2^{-k}$.

(ii) Disjonction. Deux éléments distincts de $\mathcal Q(U)$ qui se rencontrent sont emboîtés par (i), disons $Q \subsetneq Q'$, et $Q'$ est alors de niveau strictement inférieur à celui de $Q$, sans quoi $Q'$ serait contenu dans $Q$. Mais $\bar Q' \subset U$, ce que la définition de $\mathcal Q(U)$ interdit pour $Q$.

Recouvrement. Soit $x \in U$, et $r > 0$ tel que $B_\infty(x, r) \subset U$. Notons $Q_k(x)$ le cube de niveau $k$ qui contient $x$. Pour $2^{-k} < r$, les points de $\overline{Q_k(x)}$ sont à distance au plus $2^{-k}$ de $x$, par (i), et $\overline{Q_k(x)} \subset U$. L'ensemble des $k \in \mathbb N$ tels que $\overline{Q_k(x)} \subset U$ n'est donc pas vide ; soit $k_0$ son plus petit élément.

Un cube de niveau $j < k_0$ qui contient $Q_{k_0}(x)$ contient $x$, donc c'est $Q_j(x)$, dont l'adhérence n'est pas contenue dans $U$ : ainsi $Q_{k_0}(x) \in \mathcal Q(U)$. Les éléments de $\mathcal Q(U)$, contenus dans leurs adhérences, sont contenus dans $U$, et leur réunion est donc $U$.

Dénombrabilité. $\mathcal Q(U)$ est indexé par une partie de $\mathbb N \times \mathbb Z^n$, qui est dénombrable (ℚ est dénombrable). Aucun choix n'intervient : l'entier $k_0$ est le plus petit élément d'un ensemble d'entiers, et la famille est définie par compréhension.

(iii) L'intersection de deux cubes dyadiques est vide ou égale au plus petit, par (i) : les cubes dyadiques contenus dans $Q$ et le vide forment un π-système, constitué de boréliens contenus dans $Q$. Soit $\sigma_Q$ la tribu qu'il engendre sur $Q$ ; elle est contenue dans $\mathcal B(Q)$.

L'ensemble $\mathcal T$ des boréliens $B$ de $\mathbb R^n$ tels que $B \cap Q \in \sigma_Q$ est une tribu, puisque $B^c \cap Q = Q \setminus (B \cap Q)$ et que l'intersection avec $Q$ commute aux réunions. Il contient les ouverts. En effet, si $O$ est ouvert et $x \in O \cap Q$, avec $B_\infty(x, r) \subset O$, le cube dyadique de niveau $k$ qui contient $x$, pour $k$ au moins égal au niveau de $Q$ et $2^{-k} < r$, est contenu dans $Q$ et dans $O$, par (i).

Donc $O \cap Q$ est la réunion, dénombrable, des cubes dyadiques contenus dans $O \cap Q$, et il appartient à $\sigma_Q$. Ainsi $\mathcal T = \mathcal B(\mathbb R^n)$, et tout borélien $B \subset Q$, qui vérifie $B = B \cap Q$, appartient à $\sigma_Q$.