Formule du changement de variables

(i) Deux mesures. L'ensemble $\varphi(E)$ est borélien, comme image réciproque de $E$ par $\varphi^{-1}$, continue sur $V$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (i)). Comme $\varphi$ est injective, $\nu(E) = \lambda(\varphi(E))$ définit une mesure sur $\mathcal B(U)$. Il en va de même de $\mu(E) = \int_E |J_\varphi|\,d\lambda$ (Convergence monotone, (iii)), la fonction $|J_\varphi|$ étant continue, donc borélienne.

Dans un cube. Soit $Q$ un élément de la décomposition $\mathcal Q(U)$ de $U$ en cubes dyadiques (Cubes dyadiques, (ii)). Tout cube dyadique $Q' \subset Q$ est de la forme $c + \,]{-r}, r]^n$, avec $C(c, r) = \bar Q' \subset \bar Q \subset U$. Le nœud Mesure de l'image d'un cube, (ii), donne $\nu(Q') = \mu(Q')$, valeur finie.

Les cubes dyadiques contenus dans $Q$ forment avec $\varnothing$ un π-système qui engendre $\mathcal B(Q)$ (Cubes dyadiques, (iii)). Les restrictions de $\nu$ et de $\mu$ à $\mathcal B(Q)$ y coïncident et sont finies. L'unicité du nœud Classes monotones, (ii), appliquée sur l'ensemble $Q$ avec la suite constante $X_k = Q$, donne $\nu = \mu$ sur $\mathcal B(Q)$.

Dans $U$. Pour $E \in \mathcal B(U)$, les ensembles $E \cap Q$, pour $Q \in \mathcal Q(U)$, sont deux à deux disjoints, de réunion $E$, et en nombre au plus dénombrable. Par σ-additivité, $$\begin{aligned} \nu(E) &= \sum_Q \nu(E \cap Q) \\ &= \sum_Q \mu(E \cap Q) = \mu(E). \end{aligned}$$

(ii) Pour $f = \mathbf 1_B$, avec $B \in \mathcal B(V)$, on a $f \circ \varphi = \mathbf 1_{\varphi^{-1}(B)}$, et $\varphi^{-1}(B)$ est un borélien de $U$ d'image $B$, $\varphi$ étant continue (Lebesgue sur ℝⁿ, (i)). Le point (i), appliqué à ce borélien, s'écrit $\lambda(B) = \int_U \mathbf 1_{\varphi^{-1}(B)}\,|J_\varphi|\,d\lambda$ : c'est l'égalité cherchée. Par linéarité (Convergence monotone, (i)), elle vaut pour les fonctions étagées positives.

Pour $f$ quelconque, soit $(s_k)$ une suite croissante de fonctions étagées positives de limite $f$ (Fonctions étagées). Les fonctions $s_k \circ \varphi$ sont étagées et boréliennes, par le même argument (Lebesgue sur ℝⁿ, (i)), et les fonctions $(s_k \circ \varphi)\,|J_\varphi|$ le sont aussi (Fonctions mesurables, (iii)) et croissent vers $(f \circ \varphi)\,|J_\varphi|$, y compris là où $f \circ \varphi$ vaut $+\infty$, puisque $|J_\varphi| > 0$. Cette limite est donc borélienne, et la convergence monotone (Convergence monotone), appliquée des deux côtés, conclut.

(iii) On applique (ii) à $|f|$, puis à $f^+$ et à $f^-$, en remarquant que $(f \circ \varphi)^\pm = f^\pm \circ \varphi$ et que $|J_\varphi| > 0$. Les intégrales de $|f|$ sur $V$ et de $|f \circ \varphi|\,|J_\varphi|$ sur $U$ sont égales, donc finies en même temps, et l'on retranche les égalités obtenues pour $f^+$ et $f^-$.

(iv) Si $N \subset U$ est un borélien négligeable, la fonction $|J_\varphi|\mathbf 1_N$ est nulle presque partout, et (i) donne $\lambda(\varphi(N)) = \int_N |J_\varphi| = 0$ (Intégrale positive, (iv)). La règle de la chaîne appliquée à $\varphi^{-1} \circ \varphi = \mathrm{id}_U$ et la multiplicativité du déterminant (Déterminant d'une matrice, (ii)) donnent $J_{\varphi^{-1}}(\varphi(x))\,J_\varphi(x) = 1$.