Théorème 3Changement de variables

Théorème de Liouville sur le flot et les volumes

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ et $X : U \to \mathbb R^n$ un champ de classe $C^1$ , de flot $\varphi$ et de domaine $D$ (Domaine du flot). Sa divergence est la fonction continue $\operatorname{div} X = \operatorname{tr} dX = \sum_{i=1}^n \partial_i X_i.$

On note $Z_x$ la solution de l'équation variationnelle le long de la courbe issue de $x$ (Équation variationnelle), et, pour $(t, x) \in D$ , $\delta_t(x) = \int_0^t \operatorname{div} X(\varphi_s(x))\,ds,$ intégrale orientée (Propriétés de l'intégrale, (v)).

Énoncé

(i) Pour $(t, x) \in D$ , $\det Z_x(t) = e^{\delta_t(x)} > 0$ .

(ii) Pour tout réel $t$ et tout borélien $E \subset D_t$ , $\lambda(\varphi_t(E)) = \int_E e^{\delta_t}\,d\lambda.$

(iii) Conservation du volume. Si $\operatorname{div} X = 0$ , chaque $\varphi_t$ conserve la mesure : $\lambda(\varphi_t(E)) = \lambda(E)$ pour tout borélien $E \subset D_t$ . C'est le cas, pour $n = 2$ , d'un champ hamiltonien $X = (\partial_2 H, -\partial_1 H)$ , où $H$ est de classe $C^2$ .

Démonstration

(i) Fixons $x$ . Sur $]\alpha(x), \beta(x)[$ , la fonction $Z_x$ est dérivable, de dérivée $A(s)Z_x(s)$ , où $A(s) = dX(\varphi_s(x))$ . Le déterminant est différentiable, de différentielle $H \mapsto \operatorname{tr}\big({}^t\!\operatorname{com}(M)\,H\big)$ en $M$ , comme l'établit la démonstration du nœud Systèmes linéaires, (iii).

Par la règle de la chaîne, $f(s) = \det Z_x(s)$ est dérivable, et $\begin{aligned} f'(s) &= \operatorname{tr}\big({}^t\!\operatorname{com}(Z_x)\,A\,Z_x\big) \\ &= \operatorname{tr}\big(Z_x\,{}^t\!\operatorname{com}(Z_x)\,A\big) \\ &= f(s)\operatorname{tr}A(s), \end{aligned}$ par $\operatorname{tr}(PQ) = \operatorname{tr}(QP)$ (Trace, (ii)) et la formule de la comatrice (Comatrice).

La fonction $\operatorname{tr}A(s) = \operatorname{div} X(\varphi_s(x))$ est continue, et $G(s) = \int_0^s \operatorname{tr}A$ est dérivable, de dérivée $\operatorname{tr}A(s)$ (Théorème fondamental). La fonction $h = f\,e^{-G}$ a pour dérivée $f'e^{-G} - f\,(\operatorname{tr}A)\,e^{-G} = 0$ ; elle est donc constante sur l'intervalle $]\alpha(x), \beta(x)[$ (Égalité des accroissements finis), égale à $h(0) = \det I = 1$ . Ainsi $f = e^G$ , et $G(t) = \delta_t(x)$ .

(ii) Par le nœud Équation variationnelle, (i) et (iii), $\varphi_t$ est un $C^1$ -difféomorphisme de l'ouvert $D_t$ sur l'ouvert $D_{-t}$ , de différentielle $Z_x(t)$ en $x$ . Son jacobien est $\det Z_x(t) = e^{\delta_t(x)}$ , positif par (i), et le nœud Changement de variables, (i), conclut.

(iii) Si la divergence est nulle, $\delta_t = 0$ , et (ii) donne $\lambda(\varphi_t(E)) = \int_E 1\,d\lambda = \lambda(E)$ . Pour un champ hamiltonien, $X$ est de classe $C^1$ , et $\operatorname{div} X = \partial_1\partial_2 H - \partial_2\partial_1 H = 0$ par le théorème de Schwarz (Schwarz, intégrales à paramètre, (i)).

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Remarque

Pour l'équation $y' = y^2$ sur $\mathbb R$ , la divergence est $2y$ , et $Z_x(t) = \frac{1}{(1 - tx)^2}$ (Équation variationnelle). Pour $t > 0$ et $a < b < \frac1t$ , (ii) donne $\begin{aligned} \lambda\big(\varphi_t(]a, b[)\big) &= \int_a^b \frac{dx}{(1 - tx)^2} \\ &= \frac{b - a}{(1 - ta)(1 - tb)}. \end{aligned}$

On le vérifie directement : $\varphi_t$ est croissante, et $\varphi_t(b) - \varphi_t(a) = \frac{b}{1 - tb} - \frac{a}{1 - ta}$ a cette valeur. Un intervalle de points positifs s'allonge, d'autant plus que ses points approchent de leur instant d'explosion ; un intervalle de points négatifs se contracte. La divergence n'étant pas nulle, le volume n'est pas conservé.

Remarque

Le champ $X(y) = (1, y_1^2)$ du nœud Équation variationnelle est de divergence nulle, puisque sa première composante est constante et que la seconde ne dépend pas de $y_2$ . Son flot cisaille et courbe les figures, mais n'en change pas l'aire.

Le disque

\Delta

de centre

0

et de rayon

\frac12

, en gris, est emporté par le flot de

X(y) = (1, y_1^2)

\varphi_{1/2}(\Delta)

, en bleu, puis en

\varphi_1(\Delta)

, en rouge, le long de la trajectoire verte de son centre. Les trois régions ont la même aire

\frac\pi4

, calculée exactement sur leurs bords paramétrés, bien que la dernière soit très allongée.

Remarque

Pour un champ linéaire $X(y) = Ay$ , le flot est $\varphi_t(y) = e^{tA}y$ , sa différentielle est $e^{tA}$ , et $\operatorname{div} X = \operatorname{tr}A$ : le point (i) redonne la formule $\det e^{tA} = e^{t\operatorname{tr}A}$ du nœud Systèmes linéaires, (iii), dont il est la version non linéaire.

Remarque

Le pendule $y_1'' = -\sin y_1$ s'écrit $y' = X(y)$ avec $X(y) = (y_2, -\sin y_1)$ , champ hamiltonien de fonction $H(y) = \frac{y_2^2}2 - \cos y_1$ . Son flot conserve donc les aires du plan des phases. Ce fait, qui vaut pour tous les systèmes hamiltoniens, est l'un des points de départ de la mécanique statistique, où la mesure de Lebesgue de l'espace des phases est invariante par l'évolution.

Remarque

Le calcul de (i) remonte à Liouville. Dans sa « Note sur la théorie de la variation des constantes arbitraires » (Journal de mathématiques pures et appliquées 3, 1838, p. 342-349), il montre que, pour un système $\frac{dx_i}{dt} = P_i$ , le déterminant $u$ des dérivées des solutions par rapport aux constantes arbitraires vérifie $\frac{du}{dt} = u\Big(\frac{\partial P_1}{\partial x_1} + \cdots + \frac{\partial P_n}{\partial x_n}\Big),$ et qu'il ne dépend donc pas de $t$ lorsque cette somme est nulle.

Repose sur

Formule du changement de variables Différentiabilité du flot et équation variationnelle

Sert à

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