Flot d'un champ de vecteurs

(i) La fonction $u \mapsto \varphi_{u+s}(x)$, définie sur $]\alpha(x) - s, \beta(x) - s[$, est solution de l'équation autonome $y' = X(y)$ et vaut $\varphi_s(x)$ en $u = 0$. Elle est donc une restriction de la solution maximale issue de $\varphi_s(x)$ (Solutions maximales, (ii)) : $]\alpha(x) - s, \beta(x) - s[ \;\subset\; ]\alpha(\varphi_s(x)), \beta(\varphi_s(x))[$, et $\varphi_{u+s}(x) = \varphi_u(\varphi_s(x))$ sur le premier intervalle. Comme $t + s \in \,]\alpha(x), \beta(x)[$, le réel $t$ appartient à ce premier intervalle, ce qui donne l'énoncé.

(ii) Existence de $K$ et $\delta$. L'ensemble $$\Gamma = \{\varphi_t(x_0) : t \in [0, T]\}$$ est compact, image du segment $[0, T]$ (Compacts de ℝ, (i)) par l'application continue $t \mapsto \varphi_t(x_0)$ (Parties compactes, (iii)), et il est contenu dans l'ouvert $U$.

Le nœud Sortie des compacts, (i), fournit $\delta > 0$ tel que $\Gamma^\delta$ soit un compact contenu dans $U$ : le couple $(\Gamma^\delta, \delta)$ convient.

Désormais, $K$ et $\delta$ sont quelconques, comme dans l'énoncé ; le maximum $L$ existe, $y \mapsto |||dX(y)|||$ étant continue sur le compact $K$ (Compacts de ℝ, (iii)).

Une intégrale vectorielle. Pour $v : [0, t] \to \mathbb R^n$ continue, on a $\|\int_0^t v\| \leqslant \int_0^t \|v\|$, puisque $|\int_0^t v_i| \leqslant \int_0^t |v_i| \leqslant \int_0^t \|v\|$ pour chaque coordonnée (Propriétés de l'intégrale, (iv) et (ii)).

L'estimation. Soit $x \in U$ tel que $\|x - x_0\| < \delta e^{-LT}$, et posons $c = \|x - x_0\|e^{LT} < \delta$, $u(s) = \|\varphi_s(x) - \varphi_s(x_0)\|$, et $I_x = [0, T] \cap [0, \beta(x)[$. Soit $E$ l'ensemble des $s \in I_x$ tels que $u(\sigma) < \delta$ pour tout $\sigma \in [0, s]$ ; c'est un intervalle qui contient $0$, puisque $u(0) \leqslant c$.

Pour $s \in E$ et $\sigma \in [0, s]$, les points $\varphi_\sigma(x)$ et $\varphi_\sigma(x_0)$ sont dans la boule ouverte $B(\varphi_\sigma(x_0), \delta)$, convexe et contenue dans $K$, où $|||dX||| \leqslant L$. L'inégalité des accroissements finis (Accroissements finis, (ii)), appliquée sur cet ouvert convexe, donne $$\|X(\varphi_\sigma(x)) - X(\varphi_\sigma(x_0))\| \leqslant L\,u(\sigma).$$

Par la forme intégrale des solutions (Cauchy-Lipschitz, (ii)) et l'inégalité précédente sur les intégrales, $u(\sigma) \leqslant u(0) + L\int_0^\sigma u$ pour $\sigma \in [0, s]$, et le lemme de Grönwall (Grönwall, (i)) donne $u(\sigma) \leqslant \|x - x_0\|e^{L\sigma} \leqslant c$ sur $[0, s]$.

Tout $I_x$ est dans $E$. Soit $s^*$ la borne supérieure de $E$. Premier cas, $s^* \in I_x$ : alors $u \leqslant c$ sur $[0, s^*[$, donc $u(s^*) \leqslant c < \delta$ par continuité, et $s^* \in E$. Si $s^*$ n'était pas le plus grand élément de $I_x$, la continuité de $u$ en $s^*$ donnerait $u < \delta$ un peu au-delà de $s^*$, contre la définition de $s^*$ ; donc $E = I_x$.

Second cas, $s^* \notin I_x$ : comme $s^* \leqslant T$, c'est que $s^* = \beta(x) \leqslant T$, et $I_x = [0, \beta(x)[$ ; l'intervalle $E$, qui contient $0$ et a la même borne supérieure, est alors égal à $I_x$.

Conclusion. Dans le second cas, la courbe issue de $x$ resterait, sur $[0, \beta(x)[$, dans le compact $K$, ce qu'interdit le nœud Sortie des compacts, (iii). On est donc dans le premier cas : $I_x$ a un plus grand élément, ce qui impose $\beta(x) > T$, et $s^* = T$, $E = I_x = [0, T]$ : pour tout $t \in [0, T]$, $\varphi_t(x)$ est défini, vérifie l'estimation, et appartient à $B(\varphi_t(x_0), \delta) \subset K$.

(iii) $\|y(t)\| \leqslant \|x\| + |t|\sup\|X\|$ ne peut tendre vers l'infini en temps fini, ni quand $t$ croît, ni quand $t$ décroît ; donc $\alpha = -\infty$ et $\beta = +\infty$, par le critère d'explosion, des deux côtés (Solutions maximales, (iii), avec $I = \mathbb R$).

Par (i), $\varphi_t \circ \varphi_{-t} = \varphi_0 = \mathrm{id}$, et $\varphi_t$ est continue par (ii), appliqué à $X$ pour $t \geqslant 0$ et au champ $-X$, lui aussi borné et de classe $C^1$, pour $t \leqslant 0$ : si $y$ résout $y' = X(y)$, $s \mapsto y(-s)$ résout $y' = -X(y)$, si bien que le flot de $-X$ est $\varphi_{-t}$.