Domaine du flot, continuité et réciproque de φₜ

(i) Si $y : J \to U$ est solution de $y' = X(y)$, la fonction $z(t) = y(-t)$, définie sur $-J$, vérifie $z'(t) = -y'(-t) = -X(z(t))$ par la règle de la chaîne (Différentielle, (ii) et (iv)), et réciproquement.

Le changement de $t$ en $-t$ échange donc les solutions des deux équations et respecte l'inclusion des intervalles, donc la maximalité : la solution maximale de $y' = -X(y)$ issue de $x$ est $t \mapsto \varphi_{-t}(x)$, sur $]{-\beta(x)}, -\alpha(x)[$. Enfin $-X$ est de classe $C^1$, de différentielle $-dX$.

(ii) Les constantes. $\Gamma$ est compact, image du segment $[a, b]$ (Compacts de ℝ, (i)) par l'application continue $t \mapsto \varphi_t(x_0)$ (Parties compactes, (iii)). Le nœud Sortie des compacts, (i), fournit $\delta$, et $L$ existe puisque $y \mapsto |||dX(y)|||$ est continue sur le compact $K$ (Compacts de ℝ, (iii)).

Les temps positifs. Le compact $K = \Gamma^\delta$ contient les boules $\bar B(\varphi_t(x_0), \delta)$ pour $t \in [0, b]$, et $L$ est le maximum de $|||dX|||$ sur $K$. Comme $b \leqslant T$, la condition $\|x - x_0\| < \delta e^{-LT}$ entraîne $\|x - x_0\| < \delta e^{-Lb}$, et le nœud Flot, (ii), appliqué sur $[0, b]$ avec ce compact, donne exactement l'estimation cherchée pour $t \in [0, b]$, avec $\varphi_t(x) \in K$.

Les temps négatifs. Le champ $-X$ a pour flot $\psi_t = \varphi_{-t}$, par (i). Le segment $[-b, -a]$ contient $0$ et est contenu dans $]{-\beta(x_0)}, -\alpha(x_0)[$ ; il donne les mêmes $T$, $\Gamma$, $\delta$ et $K$, et le même $L$ puisque $|||d(-X)||| = |||dX|||$.

Le nœud Flot, (ii), appliqué à $-X$ sur $[0, -a]$ avec le même compact $K$, qui contient les boules $\bar B(\psi_t(x_0), \delta)$ pour $t \in [0, -a]$, est l'estimation cherchée pour $t \in [a, 0]$.

(iii) Soit $(t_1, x_0) \in D$. Comme $\alpha(x_0) < \min(t_1, 0)$ et $\max(t_1, 0) < \beta(x_0)$, il existe $\eta > 0$ tel que le segment $[a, b] = [\min(t_1, 0) - \eta, \max(t_1, 0) + \eta]$ soit contenu dans $]\alpha(x_0), \beta(x_0)[$ ; il contient $0$, et $t_1 \in \,]a, b[$. Soit $\rho = \delta e^{-LT}$, avec les constantes de (ii).

Par (ii), $]a, b[ \times B(x_0, \rho)$ est contenu dans $D$ ; c'est un ouvert qui contient $(t_1, x_0)$, donc $D$ est ouvert. Pour $(t, x)$ dans cet ouvert, $$\begin{aligned} &\|\varphi_t(x) - \varphi_{t_1}(x_0)\| \leqslant \|x - x_0\|\,e^{LT} \\ &\quad + \|\varphi_t(x_0) - \varphi_{t_1}(x_0)\|, \end{aligned}$$ qui tend vers $0$ quand $(t, x) \to (t_1, x_0)$, par continuité de la solution issue de $x_0$.

(iv) $D_t$ est l'image réciproque de l'ouvert $D$ par l'application continue $x \mapsto (t, x)$. Soit $x \in D_t$ et $y = \varphi_t(x)$. La fonction $s \mapsto \varphi_{s+t}(x)$, définie sur $]\alpha(x) - t, \beta(x) - t[$, est solution de l'équation autonome $y' = X(y)$ et vaut $y$ en $0$.

Par Solutions maximales, (i), elle coïncide avec $s \mapsto \varphi_s(y)$ sur l'intersection de leurs intervalles ; la fonction égale à l'une ou à l'autre sur la réunion, qui est un intervalle contenant $0$, est une solution qui prolonge la solution maximale issue de $y$. Donc $]\alpha(x) - t, \beta(x) - t[ \;\subset\; ]\alpha(y), \beta(y)[$.

Comme $0 \in \,]\alpha(x), \beta(x)[$, le réel $-t$ appartient au premier intervalle : $y \in D_{-t}$, et $\varphi_{-t}(y) = \varphi_{-t+t}(x) = x$. Ainsi $\varphi_{-t} \circ \varphi_t$ est l'identité de $D_t$ ; en changeant $t$ en $-t$, $\varphi_t \circ \varphi_{-t}$ est l'identité de $D_{-t}$, et $\varphi_t$ est une bijection de $D_t$ sur $D_{-t}$.