Voisinages compacts et sortie des compacts

(i) Si $K$ est vide, $K^\delta$ l'est aussi. Sinon, $K$ est bornée (L'espace ℝⁿ, (iii)), contenue dans une boule $\bar B(0, R)$, et $K^\delta$ est contenue dans $\bar B(0, R + \delta)$ par l'inégalité triangulaire.

Montrons que $K^\delta$ est fermée. Soit $y \notin K^\delta$. La fonction $a \mapsto \|y - a\|$ est continue sur le compact $K$ et y atteint son minimum $\mu$ en un point $a_0$ (Compacts de ℝ, (iii)) ; comme $y \notin \bar B(a_0, \delta)$, on a $\mu > \delta$.

Pour $z \in B(y, \mu - \delta)$ et $a \in K$, on a alors $$\begin{aligned} \|z - a\| &\geqslant \|y - a\| - \|y - z\| \\ &> \mu - (\mu - \delta) = \delta, \end{aligned}$$ donc $z \notin K^\delta$. Le complémentaire de $K^\delta$ est ouvert ; $K^\delta$, fermée et bornée, est compacte (L'espace ℝⁿ, (iii)).

Supposons enfin $K \subset W$ et $K$ non vide. Si $W = \mathbb R^m$, tout $\delta$ convient. Sinon, posons $f(a) = \inf\{\|a - z\| : z \notin W\}$. L'inégalité $\|a - z\| \leqslant \|a - b\| + \|b - z\|$, passée à la borne inférieure en $z$, donne $f(a) \leqslant \|a - b\| + f(b)$ ; en échangeant $a$ et $b$, $|f(a) - f(b)| \leqslant \|a - b\|$ : $f$ est $1$-lipschitzienne, donc continue (Topologie d'une distance, (iv)).

Pour $a \in W$, l'ouvert $W$ contient une boule $B(a, r)$ (Topologie d'une distance, (i)), et $f(a) \geqslant r > 0$. Sur le compact $K$, $f$ atteint donc un minimum $m > 0$, et $\delta = m/2$ convient : si $\|y - a\| \leqslant m/2$ avec $a \in K$, alors $\|y - a\| < f(a)$, ce qui interdit $y \notin W$. Aucun choix n'intervient : $f$ est définie par une borne inférieure.

(ii) Supposons $\beta < +\infty$ et le graphe contenu dans un compact $K$ de $\Omega$. Par (i), dans $\mathbb R^{1+n}$, il existe $\delta > 0$ tel que $K^\delta$ soit un compact contenu dans $\Omega$. Les fonctions continues $\|F\|$ et $|||dF|||$ y sont bornées (Compacts de ℝ, (iii)), par $M$ et $L$ ; quitte à agrandir $M$, on suppose $M \geqslant 1$.

Soit $(t_1, y_1) \in K$. La boule ouverte de centre $(t_1, y_1)$ et de rayon $\delta$ pour $\|\cdot\|_\infty$ est $]t_1 - \delta, t_1 + \delta[ \times B(y_1, \delta)$ ; elle est contenue dans $K^\delta$, et elle contient le cylindre $$C = [t_1 - \tfrac\delta2, t_1 + \tfrac\delta2] \times \bar B(y_1, \tfrac\delta2),$$ sur lequel $\|F\| \leqslant M$.

Pour $t$ fixé, l'application $g(z) = F(t, z)$ est différentiable sur la boule convexe $B(y_1, \delta)$, de différentielle $k \mapsto dF(t, z)(0, k)$ par la règle de la chaîne (Différentielle, (iii) et (iv)), de norme au plus $L$ puisque $\|(0, k)\|_\infty = \|k\|_\infty$. Par l'inégalité des accroissements finis (Accroissements finis, (ii)), $F$ est $L$-lipschitzienne en $y$ sur $C$.

Le théorème Cauchy-Lipschitz, (ii), fournit donc une solution $z$ sur $[t_1 - h, t_1 + h]$ telle que $z(t_1) = y_1$, avec $h = \frac{\delta}{2M}$, qui ne dépend pas du point $(t_1, y_1)$ de $K$.

Prenons $t_1 = \max(t_0, \beta - \frac h2)$ et $y_1 = y(t_1)$. Par Solutions maximales, (i), $z$ et $y$ coïncident sur l'intersection de leurs intervalles. La fonction égale à $y$ sur $]\alpha, \beta[$ et à $z$ sur $[t_1 - h, t_1 + h]$ est donc bien définie ; elle est solution, puisqu'au voisinage de chaque point elle coïncide avec $y$ ou avec $z$.

Elle est définie jusqu'en $t_1 + h \geqslant \beta + \frac h2 > \beta$, ce qui contredit la maximalité de $y$. Du côté de $\alpha$, on prend $t_1 = \min(t_0, \alpha + \frac h2)$ et l'on prolonge au-delà de $\alpha$ de la même façon.

(iii) Si la courbe est contenue dans un compact $K$ de $U$, le graphe est contenu dans $[t_0, \beta] \times K$.

Cette partie de $\mathbb R^{1+n}$ est bornée, et fermée comme intersection des images réciproques de $[t_0, \beta]$ et de $K$ par les deux projections, qui sont continues, $K$ étant fermé comme partie compacte de l'espace séparé $\mathbb R^n$ (Parties compactes, (ii)) ; elle est donc compacte (L'espace ℝⁿ, (iii)), contenue dans $\Omega = \mathbb R \times U$, ce que (ii) interdit.