Courbes intégrales d'un champ de vecteurs sur une variété

(i) Dans une carte $(U, \psi)$, $X$ s'écrit comme un champ $\tilde X$ sur l'ouvert $\psi(U)$ de ${\mathbb R^n}$, lisse, et $\gamma$ est une courbe intégrale si et seulement si $\psi \circ \gamma$ est solution de $y' = \tilde X(y)$ (Espace tangent).

Une solution $y$ de cette équation est de classe $C^\infty$ : si elle est de classe $C^k$, sa dérivée $\tilde X \circ y$ l'est aussi (Classe Cᵏ, (iii)), et $y$ est de classe $C^{k+1}$. Les courbes intégrales contenues dans $U$ correspondent donc exactement, par $\gamma \mapsto \psi \circ \gamma$, aux solutions de $y' = \tilde X(y)$ à valeurs dans $\psi(U)$. Comme l'équation est autonome, une translatée $t \mapsto \gamma(t + c)$ d'une courbe intégrale en est encore une.

L'existence et l'unicité locales viennent de Cauchy-Lipschitz ; deux courbes intégrales qui coïncident en un instant coïncident sur un intervalle ouvert, puis sur tout l'intervalle commun par connexité, puisque $M$ est séparée et que l'ensemble des instants de coïncidence est fermé.

La réunion des graphes de toutes les courbes intégrales issues d'un point est, comme au nœud Solutions maximales, (ii), le graphe d'une application qui coïncide, au voisinage de chaque instant, avec l'une d'elles ; c'est donc une courbe intégrale, la lissité et l'équation étant locales, et elle prolonge toutes les autres. Son intervalle de définition est ouvert : s'il contenait l'une de ses extrémités, l'existence locale en ce point la prolongerait.

(ii) Pour une carte $(U, \psi)$, notons $\tilde\varphi$ le flot du champ $\tilde X$ sur l'ouvert $\psi(U)$.

Un recouvrement. Soit $\mathcal V$ l'ensemble des ouverts $V$ de $M$ pour lesquels il existe $T > 0$ tel que, pour $|t| < T$, $\varphi_t(x)$ soit défini pour tout $x \in V$ et que $x \mapsto \varphi_t(x)$ soit continue sur $V$. Montrons que tout point $p$ de $M$ appartient à un élément de $\mathcal V$.

Soit $(U, \psi)$ une carte en $p$ et $x_0 = \psi(p)$. La solution maximale issue de $x_0$ est définie sur un intervalle ouvert contenant $0$, donc sur un segment $[-T, T]$, avec $T > 0$. Son image $\Gamma = \{\tilde\varphi_t(x_0) : |t| \leqslant T\}$ est compacte, et le nœud Sortie des compacts, (i), fournit $\delta > 0$ tel que $K = \Gamma^\delta$ soit un compact contenu dans $\psi(U)$ ; soit $L$ le maximum de $|||d\tilde X|||$ sur $K$.

Le champ $-\tilde X$ a pour flot $t \mapsto \tilde\varphi_{-t}$, comme on l'a vu au nœud Flot, (iii), et $|||d(-\tilde X)||| = |||d\tilde X|||$. Posons $\rho = \frac\delta2 e^{-LT}$. Le nœud Flot, (ii), appliqué sur $[0, T]$ à $\tilde X$ et à $-\tilde X$, avec le compact $K$ et le rayon $\delta$, montre que, pour $x_1 \in B(x_0, \rho)$ et $|t| \leqslant T$, $\tilde\varphi_t(x_1)$ est défini et $$\|\tilde\varphi_t(x_1) - \tilde\varphi_t(x_0)\| \leqslant \rho\,e^{LT} = \frac\delta2.$$ Le compact $K$ contient donc les boules $\bar B(\tilde\varphi_t(x_1), \frac\delta2)$, $|t| \leqslant T$, et le même nœud, appliqué encore à $\tilde X$ et à $-\tilde X$, mais avec le centre $x_1$, le compact $K$, le rayon $\frac\delta2$ et la même constante $L$, donne $$\|\tilde\varphi_t(x) - \tilde\varphi_t(x_1)\| \leqslant \|x - x_1\|\,e^{LT}$$ pour $\|x - x_1\| < \frac\delta2 e^{-LT}$ et $|t| \leqslant T$ : chaque $\tilde\varphi_t$, $|t| \leqslant T$, est défini et continu sur la boule $B(x_0, \rho)$.

Soit $V = \psi^{-1}(B(x_0, \rho))$, ouvert de $M$ contenant $p$. Pour $x \in V$, la courbe $t \mapsto \psi^{-1}(\tilde\varphi_t(\psi(x)))$, $|t| < T$, est une courbe intégrale issue de $x$, donc une restriction de la courbe maximale, par (i) : $\varphi_t(x) = \psi^{-1}(\tilde\varphi_t(\psi(x)))$. Composée d'applications continues, $x \mapsto \varphi_t(x)$ est continue sur $V$ pour $|t| < T$, et $V \in \mathcal V$.

Le champ est complet. Comme $M$ est compacte, un nombre fini d'éléments $V_1, \dots, V_q$ de $\mathcal V$ la recouvrent ; on prend pour chacun un $T_l$ convenable, ce qui ne fait qu'un nombre fini de choix, et l'on pose $\varepsilon = \min_l T_l$. Toute courbe intégrale maximale issue d'un point quelconque est donc définie au moins sur $]{-\varepsilon}, \varepsilon[$.

Soit $\gamma$ la courbe maximale issue de $p$, définie sur $]\alpha, \beta[$, et supposons $\beta < +\infty$. Soit $t_1 \in \,]\alpha, \beta[$ tel que $t_1 > \beta - \varepsilon$, et $x = \gamma(t_1)$. La translatée $s \mapsto \gamma(t_1 + s)$ est une courbe intégrale issue de $x$, donc une restriction de la courbe maximale $c$ issue de $x$, qui est définie sur $]{-\varepsilon}, \varepsilon[$. La courbe $s \mapsto c(s - t_1)$ est alors une courbe intégrale issue de $c(-t_1) = \gamma(0) = p$, définie jusqu'en $t_1 + \varepsilon > \beta$, qui prolonge $\gamma$ par (i) : c'est contraire à la maximalité de $\gamma$. De même, $\alpha = -\infty$.

Groupe d'homéomorphismes. Pour $s, t$ réels et $x \in M$, les courbes $t \mapsto \varphi_{t+s}(x)$ et $t \mapsto \varphi_t(\varphi_s(x))$ sont des courbes intégrales définies sur $\mathbb R$, de même valeur $\varphi_s(x)$ en $0$ : elles sont égales par (i), et $\varphi_{t+s} = \varphi_t \circ \varphi_s$.

Pour $|t| < \varepsilon$, $\varphi_t$ est continue sur chacun des ouverts $V_l$, qui recouvrent $M$, donc continue sur $M$. Pour $t$ quelconque, soit $m \geqslant 1$ un entier tel que $|t| < m\varepsilon$ ; par la propriété de groupe, $\varphi_t$ est la composée de $m$ applications $\varphi_{t/m}$, donc continue. Enfin $\varphi_t \circ \varphi_{-t} = \varphi_{-t} \circ \varphi_t = \varphi_0 = \mathrm{id}_M$ : chaque $\varphi_t$ est un homéomorphisme, de réciproque $\varphi_{-t}$.