Théorème 4Géométrie différentielle

Fibré tangent et champs de vecteurs ⋆

⋆ Axiome du choix

Pour montrer que $TM$ a une base au plus dénombrable, on choisit une carte pour chacun des ouverts d'une base dénombrable de $M$ : c'est un usage du choix dénombrable. Le reste de la construction n'utilise aucun choix.

Le fibré tangent d'une variété $M$ de dimension $n$ est l'ensemble ${TM} = \{(p, \xi) : p \in M,\ \xi \in {T_p}M\}$ , avec la projection $\pi(p, \xi) = p$ .

Pour une carte $(U, \varphi)$ , on note $T\varphi : \pi^{-1}(U) \to \varphi(U) \times {\mathbb R^n}$ la bijection $(p, \xi) \mapsto \big(\varphi(p), \theta_\varphi^{-1}(\xi)\big)$ . Un champ de vecteurs est une application lisse $X : M \to TM$ telle que $\pi \circ X = \mathrm{id}_M$ .

Énoncé

Il existe une unique topologie sur $TM$ pour laquelle chaque $\pi^{-1}(U)$ est ouvert et chaque $T\varphi$ est un homéomorphisme sur l'ouvert $\varphi(U) \times \mathbb R^n$ de $\mathbb R^{2n}$ , pour toutes les cartes $(U, \varphi)$ de $M$ . Muni des cartes $(\pi^{-1}(U), T\varphi)$ , $TM$ est une variété de dimension $2n$ , et $\pi$ est lisse.

Démonstration

Changements de carte. Pour deux cartes, $\tau = \psi \circ \varphi^{-1}$ , et $(z, v) \in \varphi(U \cap V) \times \mathbb R^n$ , $T\psi \circ T\varphi^{-1}(z, v) = \big(\tau(z),\ d\tau(z)v\big),$ puisque $\theta_\psi^{-1} \circ \theta_\varphi = d\tau(\varphi(p))$ . C'est une application $C^\infty$ : $z \mapsto d\tau(z)$ est $C^\infty$ , et l'évaluation $(A, v) \mapsto Av$ est bilinéaire. Il en va de même de sa réciproque, obtenue en échangeant les cartes.

Topologie. Soit $\mathcal B$ l'ensemble des parties $T\varphi^{-1}(O)$ , où $(U, \varphi)$ est une carte et $O$ un ouvert de $\varphi(U) \times \mathbb R^n$ . Elles recouvrent $TM$ . Notons $\tilde\tau = T\psi \circ T\varphi^{-1}$ , continue sur l'ouvert $\varphi(U \cap V) \times \mathbb R^n$ . Alors $\begin{aligned} &T\varphi^{-1}(O) \cap T\psi^{-1}(O') \\ &\quad = T\varphi^{-1}\big(O \cap \tilde\tau^{-1}(O')\big), \end{aligned}$ et $O \cap \tilde\tau^{-1}(O')$ est ouvert.

Donc $\mathcal B$ est la base d'une topologie, et le même calcul montre que les ouverts de cette topologie contenus dans $\pi^{-1}(U)$ sont exactement les $T\varphi^{-1}(O)$ : $T\varphi$ est un homéomorphisme.

Toute topologie ayant les propriétés annoncées contient $\mathcal B$ , et chacun de ses ouverts est réunion de ses traces sur les $\pi^{-1}(U)$ , qui sont dans $\mathcal B$ : elle est égale à la précédente.

Séparation. Si $p \neq q$ , des ouverts disjoints $U'$ et $V'$ de $M$ séparant $p$ et $q$ donnent les ouverts disjoints $\pi^{-1}(U')$ et $\pi^{-1}(V')$ . Si $p = q$ , les deux points sont dans un même $\pi^{-1}(U)$ , homéomorphe à une partie de $\mathbb R^{2n}$ , qui est séparée.

Base dénombrable. Soit $(B_k)_{k \in J}$ , avec $J \subset {\mathbb N}$ , une base de $M$ , et $K$ l'ensemble des $k$ tels que $B_k$ soit contenu dans le domaine d'une carte ; les $B_k$ , $k \in K$ , recouvrent $M$ .

Pour chaque $k \in K$ , choisissons une carte $\varphi_k$ définie sur $B_k$ . Les images réciproques par $T\varphi_k$ des boules rationnelles de $\mathbb R^{2n}$ contenues dans $\varphi_k(B_k) \times \mathbb R^n$ forment une base de $\pi^{-1}(B_k)$ (Base dénombrable de ℝⁿ), indexée par une partie de $K \times \mathbb Q^{2n} \times {\mathbb Q}$ , qui s'injecte dans $\mathbb N$ .

Tout ouvert $O$ de $TM$ est la réunion des $O \cap \pi^{-1}(B_k)$ , et chacun est réunion d'éléments de cette famille.

Lissité de $\pi$ . Dans les cartes $T\varphi$ et $\varphi$ , l'expression de $\pi$ est $(z, v) \mapsto z$ , linéaire.

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Remarque

Sur le cercle ${S^1} \subset \mathbb R^2$ , identifions $T_{(x, y)}S^1$ à la droite orthogonale à $(x, y)$ (Tangent à une sous-variété). Le champ $X(x, y) = (-y, x)$ est lisse et ne s'annule nulle part.

Aux douze points marqués du cercle, le vecteur

X(x, y) = (-y, x)

, dessiné réduit d'un facteur

0{,}4

, vérifie

x(-y) + yx = 0

: il est tangent au cercle. Il n'est jamais nul, puisque

(-y, x) = 0

entraînerait

x = y = 0

, point qui n'est pas sur le cercle.

Sur $S^2$ , au contraire, tout champ de vecteurs continu s'annule en au moins un point : c'est le théorème de la boule chevelue, de Poincaré et Brouwer. Il est démontré, pour les champs de classe $C^\infty$ sur les sphères de dimension paire, au nœud Champs tangents aux sphères, par la cohomologie de de Rham de $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ . Le cas des champs seulement continus est démontré au nœud Degré, (iv), du chapitre d'homologie cellulaire, par le degré topologique, cousin du degré des lacets du nœud Groupe fondamental du cercle.

Remarque

Le fibré tangent n'est en général pas un produit : $TS^1$ est difféomorphe à $S^1 \times {\mathbb R}$ , grâce au champ précédent qui fournit une base de chaque espace tangent. En revanche, aucun difféomorphisme de $S^2 \times \mathbb R^2$ sur $TS^2$ n'envoie chaque $\{p\} \times \mathbb R^2$ linéairement sur $T_pS^2$ : l'image de la section $p \mapsto (p, (1, 0))$ serait un champ de vecteurs qui ne s'annule pas, ce qu'interdit le théorème de la boule chevelue. L'argument ne dit rien d'un difféomorphisme quelconque entre ces deux variétés : s'il ne respecte ni les fibres ni leur structure linéaire, il ne fournit aucun champ de vecteurs.

Repose sur

Espace tangent et application linéaire tangente

Sert à

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