Proposition 1Géométrie différentielle

ℝⁿ a une base au plus dénombrable

Énoncé

Les boules $B_\infty(c, r)$ , pour $c \in {\mathbb Q^n}$ et $r \in {\mathbb Q}$ , $r > 0$ , forment une base au plus dénombrable de la topologie de $\mathbb R^n$ . Toute partie de $\mathbb R^n$ , munie de la topologie induite, a une base au plus dénombrable.

Démonstration

L'ensemble d'indices $\mathbb Q^n \times \mathbb Q$ est dénombrable (ℚ est dénombrable). Soit $O$ ouvert et $x \in O$ : il existe $\varepsilon > 0$ tel que $B_\infty(x, \varepsilon) \subset O$ .

Par densité de $\mathbb Q$ (Archimède, densité de ℚ), il existe un rationnel $r \in \,]0, \varepsilon/2[$ , puis des rationnels $c_i \in \,]x_i - r, x_i + r[$ . Alors $x \in B_\infty(c, r)$ , et pour $z \in B_\infty(c, r)$ , $\|z - x\|_\infty < 2r < \varepsilon$ , donc $B_\infty(c, r) \subset O$ . Ainsi $O$ est la réunion des boules de la famille qu'il contient.

Pour $A \subset \mathbb R^n$ , les traces $B \cap A$ de ces boules forment une base de la topologie induite, puisque tout ouvert de $A$ est de la forme $O \cap A$ .

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Remarque

Aucun choix n'intervient : l'ouvert $O$ est décrit comme la réunion de toutes les boules rationnelles qu'il contient, sans qu'on ait à en sélectionner une par point.

Remarque

L'existence d'une base au plus dénombrable sera exigée des variétés (Variétés différentiables). Elle exclut des objets localement semblables à ${\mathbb R}$ mais « trop longs », comme la droite longue, obtenue en recollant $\omega_1$ copies de $[0, 1[$ .

Repose sur

Espaces métriques et normés

Sert à

Ouverts, sous-variétés, sphères et produits