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Définition 1Géométrie différentielle

Variétés différentiables

Soit MM un espace topologique et n∈ℕn \in {\mathbb N}. Une carte de dimension nn est un couple (U,φ)(U, \varphi) où UU est un ouvert de MM et φ\varphi un homéomorphisme de UU sur un ouvert de ℝn{\mathbb R^n}.

Deux cartes (U,φ)(U, \varphi) et (V,ψ)(V, \psi) sont compatibles si le changement de carte ψ∘φ−1:φ(U∩V)→ψ(U∩V)\psi \circ \varphi^{-1} : \varphi(U \cap V) \to \psi(U \cap V) et sa réciproque sont de classe C∞C^\infty ; ce sont des applications entre ouverts de ℝn\mathbb R^n.

M U V Rn Rn φ(U) ψ(V) φ ψ ψ ∘ φ−1
La carte φ\varphi envoie UU dans une première copie de ℝn\mathbb R^n, la carte ψ\psi envoie VV dans une seconde, et le chevauchement U∩VU \cap V, en rouge, a deux images, φ(U∩V)\varphi(U \cap V) et ψ(U∩V)\psi(U \cap V). Le changement de carte ψ∘φ−1\psi \circ \varphi^{-1} va de l'une à l'autre : c'est une application entre ouverts de ℝn\mathbb R^n, à laquelle le calcul différentiel s'applique.

Un atlas est une famille de cartes deux à deux compatibles dont les domaines recouvrent MM.

Une variété différentiable de dimension nn est un espace topologique séparé, ayant une base au plus dénombrable, muni d'un atlas maximal, c'est-à-dire contenu dans aucun autre atlas.

Énoncé

Soit 𝒜\mathcal A un atlas. L'ensemble 𝒜ˉ\bar{\mathcal A} des cartes compatibles avec toutes celles de 𝒜\mathcal A est un atlas maximal, et c'est le seul atlas maximal qui contienne 𝒜\mathcal A. Deux atlas définissent le même atlas maximal si et seulement si leur réunion est un atlas.

Démonstration

Soient (V,ψ)(V, \psi) et (V′,ψ′)(V', \psi') dans 𝒜ˉ\bar{\mathcal A}, et z=ψ(p)z = \psi(p) avec p∈V∩V′p \in V \cap V'. Choisissons (U,φ)∈𝒜(U, \varphi) \in \mathcal A telle que p∈Up \in U. Sur l'ouvert ψ(V∩V′∩U)\psi(V \cap V' \cap U), qui contient zz, ψ′∘ψ−1=(ψ′∘φ−1)∘(φ∘ψ−1),\psi' \circ \psi^{-1} = (\psi' \circ \varphi^{-1}) \circ (\varphi \circ \psi^{-1}), composée d'applications C∞C^\infty (Classe Cᵏ, (iii)). La classe C∞C^\infty se vérifiant au voisinage de chaque point, ψ′∘ψ−1\psi' \circ \psi^{-1} est C∞C^\infty sur ψ(V∩V′)\psi(V \cap V').

Donc 𝒜ˉ\bar{\mathcal A} est un atlas ; il contient 𝒜\mathcal A, dont les cartes sont deux à deux compatibles. Tout atlas ℬ⊃𝒜\mathcal B \supset \mathcal A est formé de cartes compatibles avec 𝒜\mathcal A, donc ℬ⊂𝒜ˉ\mathcal B \subset \bar{\mathcal A} : cela prouve à la fois que 𝒜ˉ\bar{\mathcal A} est maximal et qu'il est le seul atlas maximal contenant 𝒜\mathcal A.

Si 𝒜∪𝒜′\mathcal A \cup \mathcal A' est un atlas, son atlas maximal contient 𝒜\mathcal A et 𝒜′\mathcal A', donc égale 𝒜ˉ\bar{\mathcal A} et 𝒜′ˉ\bar{\mathcal A'} ; réciproquement, si 𝒜ˉ=𝒜′ˉ\bar{\mathcal A} = \bar{\mathcal A'}, alors 𝒜∪𝒜′⊂𝒜ˉ\mathcal A \cup \mathcal A' \subset \bar{\mathcal A} est un atlas.

Le choix de (U,φ)(U, \varphi) porte sur un seul point et n'a rien d'un axiome du choix : 𝒜ˉ\bar{\mathcal A} est défini par compréhension.

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Remarque

La séparation n'est pas une conséquence de l'existence des cartes. La droite à deux origines, obtenue en recollant deux copies de ℝ{\mathbb R} le long de ℝ∖{0}\mathbb R \setminus \{0\}, a un atlas de deux cartes compatibles, mais ses deux origines n'ont pas de voisinages disjoints : une suite peut y avoir deux limites.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Ouverts, sous-variétés, sphères et produits
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