Ouverts, sous-variétés, sphères et produits

(i) Une partie de $\mathbb R^n$ est séparée et a une base au plus dénombrable (Espaces séparés, (iii), Base dénombrable de ℝⁿ). Pour $\Phi$ redressant $M$ sur $U$, $\varphi = p \circ \Phi|_{U \cap M}$ est une bijection continue de $U \cap M$ sur l'ouvert $\{z \in \mathbb R^d : (z, 0) \in \Phi(U)\}$, de réciproque continue $z \mapsto \Phi^{-1}(z, 0)$.

Pour deux telles cartes, $\varphi' \circ \varphi^{-1}(z) = p \circ \Phi' \circ \Phi^{-1}(z, 0)$ est une composée d'applications $C^\infty$, et ces cartes recouvrent $M$ par définition d'une sous-variété.

(ii) Un calcul direct montre que $x = \sigma_+^{-1}(z)$ vérifie $\sum x_i^2 = 1$, $x_{n+1} < 1$ et $\sigma_+(x) = z$, et que $\sigma_-(x) = 2z/(2\|z\|_2^2)$.

Réciproquement, un point $x$ de $S^n$ distinct de $N = (0, \dots, 0, 1)$ est déterminé par $z = \sigma_+(x)$ : comme $\sum_{i \leqslant n} x_i^2 = 1 - x_{n+1}^2$, on a $\|z\|_2^2 = \frac{1 + x_{n+1}}{1 - x_{n+1}}$, d'où $x_{n+1} = \frac{\|z\|_2^2 - 1}{\|z\|_2^2 + 1}$, puis $x_i = z_i(1 - x_{n+1}) = \frac{2z_i}{\|z\|_2^2 + 1}$, c'est-à-dire $x = \sigma_+^{-1}(z)$. Ainsi $\sigma_+$ est une bijection de $S^n \setminus \{N\}$ sur $\mathbb R^n$, de réciproque $\sigma_+^{-1}$. La symétrie $x \mapsto (x_1, \dots, x_n, -x_{n+1})$, qui conserve $S^n$, échange $\sigma_+$ et $\sigma_-$ : $\sigma_-$ est de même une bijection de $S^n$ privée du pôle sud sur $\mathbb R^n$. Les applications $\sigma_\pm$ sont des restrictions d'applications rationnelles, donc $C^\infty$ sur l'ouvert $\{x_{n+1} \neq \pm 1\}$ de $\mathbb R^{n+1}$, et $\sigma_+^{-1}$ est $C^\infty$ de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^{n+1}$.

Pour une carte $\varphi = p \circ \Phi$ de (i), $\sigma_+ \circ \varphi^{-1}(z) = \sigma_+\big(\Phi^{-1}(z, 0)\big)$ et $\varphi \circ \sigma_+^{-1} = p \circ \Phi \circ \sigma_+^{-1}$ sont $C^\infty$ comme composées : les atlas sont compatibles.

(iii) Séparation et base. Deux points distincts $(p, q)$ et $(p', q')$ diffèrent par une coordonnée, disons $p \neq p'$ ; si $O$ et $O'$ sont des voisinages disjoints de $p$ et $p'$, $O \times N$ et $O' \times N$ séparent les deux points.

Si $(B_i)_{i \in I}$ et $(C_j)_{j \in J}$ sont des bases au plus dénombrables de $M$ et $N$, tout ouvert de $M \times N$ est réunion de produits d'ouverts, donc de parties $B_i \times C_j$ : ces parties forment une base, indexée par $I \times J$, au plus dénombrable puisque $\mathbb N \times \mathbb N$ est dénombrable (ℚ est dénombrable, (i)).

Cartes. $\varphi \times \psi$ est une bijection continue de l'ouvert $U \times V$ sur l'ouvert $\varphi(U) \times \psi(V)$ de $\mathbb R^{m+n}$, de réciproque $\varphi^{-1} \times \psi^{-1}$ continue. Les changements de cartes $$\begin{aligned} &(\varphi' \times \psi') \circ (\varphi \times \psi)^{-1} \\ &\quad = (\varphi' \circ \varphi^{-1}) \times (\psi' \circ \psi^{-1}) \end{aligned}$$ ont des composantes $C^\infty$, donc sont $C^\infty$ (Classe Cᵏ, (ii) et (iii)), et les domaines $U \times V$ recouvrent $M \times N$.

Sous-variétés. La topologie induite par $\mathbb R^{a+b}$ sur $M \times N$ est la topologie produit, les pavés produits d'ouverts formant une base de la topologie de $\mathbb R^{a+b}$ (L'espace ℝⁿ, (i)).

Si $\Phi$ redresse $M$ sur $U$ (dimension $d$) et $\Phi'$ redresse $N$ sur $U'$ (dimension $e$), soit $\sigma$ la permutation des coordonnées de $\mathbb R^{a+b}$ qui envoie $(z, z', w, w') \in \mathbb R^d \times \mathbb R^{a-d} \times \mathbb R^e \times \mathbb R^{b-e}$ sur $(z, w, z', w')$. Alors $\sigma \circ (\Phi \times \Phi')$ est un $C^\infty$-difféomorphisme de $U \times U'$ sur un ouvert, qui envoie $(U \times U') \cap (M \times N)$ dans $\mathbb R^{d+e} \times \{0\}$, exactement sur la trace de son image.

Donc $M \times N$ est une sous-variété de dimension $d + e$, et la carte associée par (i) à ce redressement est $(p \circ \Phi) \times (p \circ \Phi')$, produit de deux cartes de $M$ et de $N$.

Les cartes associées aux redressements produits recouvrent $M \times N$ et forment donc un atlas $\mathcal A_1$, contenu à la fois dans l'atlas de (i) et dans l'atlas produit. Par le nœud Variétés différentiables, le seul atlas maximal qui contienne $\mathcal A_1$ est $\bar{\mathcal A_1}$ : les deux atlas ont le même atlas maximal.