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Proposition 4Géométrie différentielle

Applications lisses entre variétés

Soient MM et NN deux variétés. Une application f:M→Nf : M \to N est lisse si elle est continue et si, pour toutes cartes (U,φ)(U, \varphi) de MM et (V,ψ)(V, \psi) de NN prises dans les atlas maximaux, l'expression en cartes ψ∘f∘φ−1\psi \circ f \circ \varphi^{-1} est de classe C∞C^\infty sur l'ouvert φ(U∩f−1(V))\varphi(U \cap f^{-1}(V)). Un difféomorphisme est une bijection lisse dont la réciproque est lisse.

Énoncé

(i) Il suffit de vérifier la condition pour des cartes prises dans des atlas quelconques de MM et de NN.

(ii) L'identité est lisse, et la composée de deux applications lisses est lisse.

(iii) Un ouvert UU de MM est une variété pour les cartes de MM de domaine contenu dans UU, et si (U,φ)(U, \varphi) est une carte, φ\varphi est un difféomorphisme de UU sur φ(U)\varphi(U). Les fonctions lisses M→ℝM \to {\mathbb R} forment un anneau C∞(M)C^\infty(M).

(iv) Entre ouverts de ℝm{\mathbb R^m} et de ℝn\mathbb R^n, être lisse équivaut à être C∞C^\infty. Si M⊂ℝmM \subset \mathbb R^m et N⊂ℝnN \subset \mathbb R^n sont des sous-variétés et FF une application C∞C^\infty sur un ouvert contenant MM, avec F(M)⊂NF(M) \subset N, la restriction de FF à MM est lisse.

Démonstration

(i) Si (U′,φ′)(U', \varphi') et (V′,ψ′)(V', \psi') sont des cartes des atlas maximaux et p∈U′∩f−1(V′)p \in U' \cap f^{-1}(V'), choisissons des cartes (U,φ)(U, \varphi) et (V,ψ)(V, \psi) des atlas donnés autour de pp et de f(p)f(p). Au voisinage de φ′(p)\varphi'(p), ψ′∘f∘φ′−1=(ψ′∘ψ−1)∘(ψ∘f∘φ−1)∘(φ∘φ′−1),\begin{aligned} &\psi' \circ f \circ \varphi'^{-1} \\ &\quad = (\psi' \circ \psi^{-1}) \circ (\psi \circ f \circ \varphi^{-1}) \\ &\qquad \circ (\varphi \circ \varphi'^{-1}), \end{aligned} composée d'applications C∞C^\infty ; la continuité de ff garantit que les ouverts en jeu sont bien des ouverts. On conclut par le caractère local de la classe C∞C^\infty.

(ii) Si f:M→Nf : M \to N et g:N→Pg : N \to P sont lisses, g∘fg \circ f est continue, et au voisinage de chaque point, χ∘g∘f∘φ−1=(χ∘g∘ψ−1)∘(ψ∘f∘φ−1)\chi \circ g \circ f \circ \varphi^{-1} = (\chi \circ g \circ \psi^{-1}) \circ (\psi \circ f \circ \varphi^{-1}) pour une carte (V,ψ)(V, \psi) de NN autour de l'image du point.

(iii) UU est séparé et a une base au plus dénombrable, formée des traces d'une base de MM. Les cartes de MM de domaine contenu dans UU recouvrent UU, puisque la restriction d'une carte à un ouvert de son domaine est une carte compatible avec l'atlas maximal de MM ; elles forment donc un atlas de UU.

Cet atlas est maximal : une carte de UU compatible avec toutes ses cartes est compatible avec toute carte (V,χ)(V, \chi) de MM, puisque la compatibilité se vérifie au voisinage de chaque point de l'intersection des domaines, où l'on peut remplacer χ\chi par sa restriction à V∩UV \cap U ; elle appartient donc à l'atlas maximal de MM, et son domaine est contenu dans UU.

L'expression de φ\varphi dans les cartes (U′,φ′)(U', \varphi') et id\mathrm{id} est φ∘φ′−1\varphi \circ \varphi'^{-1}, de classe C∞C^\infty, et de même pour φ−1\varphi^{-1}.

Dans une carte, (f+g)∘φ−1=f∘φ−1+g∘φ−1(f + g) \circ \varphi^{-1} = f \circ \varphi^{-1} + g \circ \varphi^{-1}, et de même pour le produit (Classe Cᵏ, (iii)).

(iv) Le premier point découle de (i) avec les atlas {id}\{\mathrm{id}\}. Pour le second, avec les cartes du nœud Exemples de variétés, ψ∘F∘φ−1(z)=p′∘Φ′∘F∘Φ−1(z,0)\psi \circ F \circ \varphi^{-1}(z) = p' \circ \Phi' \circ F \circ \Phi^{-1}(z, 0), composée d'applications C∞C^\infty.

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre homéomorphisme lisse et difféomorphisme. Sur ℝ\mathbb R, les atlas {id}\{\mathrm{id}\} et {x↦x3}\{x \mapsto x^3\} ne sont pas compatibles, car x↦x1/3x \mapsto x^{1/3} n'est pas dérivable en 00 : l'identité de ℝ\mathbb R n'est pas un difféomorphisme entre ces deux structures.

Pourtant f(x)=x3f(x) = x^3 en est un, de la seconde vers la première, puisque son expression en cartes est x3∘x1/3=idx^3 \circ x^{1/3} = \mathrm{id} : les deux variétés sont difféomorphes sans être égales.

Remarque

Il existe en revanche des structures réellement distinctes : Milnor a construit en 1956 des variétés homéomorphes à la sphère S7{S^7} mais non difféomorphes à elle. Le type topologique ne détermine pas le type différentiable.

Repose sur

Ouverts, sous-variétés, sphères et produits

Sert à

Espace tangent et application linéaire tangenteFormes différentielles sur une variété, formes volumeFonctions plateau et partitions de l'unité sur une variété
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