Espace tangent et application linéaire tangente

(i) Réflexivité : le changement de carte est l'identité. Symétrie : $\varphi \circ \psi^{-1}$ est la réciproque de $\psi \circ \varphi^{-1}$, et la règle de la chaîne donne $d(\varphi \circ \psi^{-1})(\psi(p)) = d(\psi \circ \varphi^{-1})(\varphi(p))^{-1}$. Transitivité : la règle de la chaîne appliquée à $\chi \circ \varphi^{-1} = (\chi \circ \psi^{-1}) \circ (\psi \circ \varphi^{-1})$.

L'application $\theta_\varphi$ est injective, puisque deux triplets de même carte ne sont équivalents que si les vecteurs sont égaux, et surjective, puisque $(V, \psi, w) \sim \big(U, \varphi, d(\varphi \circ \psi^{-1})(\psi(p))w\big)$.

On transporte la structure de $\mathbb R^n$ par $\theta_\varphi$ ; elle ne dépend pas de la carte, car $\theta_\psi^{-1} \circ \theta_\varphi = d(\psi \circ \varphi^{-1})(\varphi(p))$ est linéaire.

(ii) Remplacer $\varphi$ et $\psi$ par d'autres cartes multiplie l'expression, à droite et à gauche, par les différentielles des changements de carte ; la règle de la chaîne montre que le résultat définit le même élément de $T_{f(p)}N$. La linéarité se lit dans les cartes, et la formule de composition découle encore de la règle de la chaîne.

Si $f$ a pour réciproque lisse $g$, alors $T_pf$ et $T_{f(p)}g$ sont réciproques l'une de l'autre, puisque $T_p\,\mathrm{id} = \mathrm{id}$ ; les dimensions sont donc égales, et celle de $T_p$ d'un ouvert de $\mathbb R^m$ est $m$.

(iii) Avec $\varphi^{-1}(z) = \Phi^{-1}(z, 0)$, $d(\varphi^{-1})(\varphi(p))v = d\Phi(p)^{-1}(v, 0)$ : l'application $\mathbb R^d \to \mathbb R^n$ ainsi définie est injective, d'image $d\Phi(p)^{-1}(\mathbb R^d \times \{0\}) = T_pM$.

Elle ne dépend pas de la carte, car $\varphi^{-1} = \varphi'^{-1} \circ (\varphi' \circ \varphi^{-1})$ donne $$\begin{aligned} d(\varphi^{-1})(\varphi(p)) &= d(\varphi'^{-1})(\varphi'(p)) \\ &\quad \circ d(\varphi' \circ \varphi^{-1})(\varphi(p)), \end{aligned}$$ ce qui est exactement la relation $\sim$.