ChapitreHomologie

Théorème de Jordan-Brouwer

Une courbe fermée du plan sans point double sépare le plan en deux régions, l'une bornée, l'autre non, dont elle est la frontière commune : c'est le théorème de Jordan, évident sur un cercle et difficile en général, parce que la courbe n'est supposée que continue. Le chapitre le démontre en toute dimension, sous la forme de Jordan-Brouwer : une sphère topologique de dimension $n - 1$ sépare $\mathbb R^n$, pour $n \geqslant 2$, en exactement deux composantes connexes par arcs, et elle est la frontière de chacune.

La démonstration est homologique. L'homologie réduite du complémentaire d'une partie de la sphère $S^n$ homéomorphe à un cube est nulle, par récurrence sur la dimension du cube, en le coupant en deux moitiés et en passant à la limite par un argument de compacité ; celle du complémentaire d'une sphère topologique de dimension $k$ est celle de $S^{n-k-1}$, par Mayer-Vietoris. Il en découle aussi l'invariance du domaine de Brouwer : une application continue et injective d'un ouvert de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^n$ a une image ouverte. Aucune forme du choix n'intervient. Le théorème de Schoenflies et la sphère cornue d'Alexander sont présentés en remarque, et admis.