Lemme 1Théorème de Jordan-Brouwer

Homologie d'une réunion croissante d'ouverts

Pour une partie $A$ d'un espace $O$ , un simplexe singulier de $A$ est un simplexe singulier de $O$ à valeurs dans $A$ (Topologie induite). L'inclusion identifie ainsi $\tilde C(A)$ à un sous-complexe de $\tilde C(O)$ , le bord d'une chaîne de $A$ étant le même dans les deux complexes.

Énoncé

Soit $O$ un espace topologique et $(O_m)_{m \in {\mathbb N}}$ une suite croissante d'ouverts de réunion $O$ .

(i) Pour tout $n \geqslant 0$ , toute chaîne de $C_n(O)$ est une chaîne de l'un des $O_M$ .

(ii) Si une classe $\alpha \in {\tilde H_n}(O_m)$ a une image nulle dans $\tilde H_n(O)$ , il existe $M \geqslant m$ tel que son image dans $\tilde H_n(O_M)$ soit déjà nulle.

Démonstration

(i) Soit $\sigma : \Delta_n \to O$ un simplexe. Les ouverts $\sigma^{-1}(O_m)$ forment une suite croissante qui recouvre $\Delta_n$ , compact (Petites chaînes). On en extrait un recouvrement fini ; comme la suite est croissante, $\Delta_n$ est égal à celui de ces ouverts qui a le plus grand indice. Il existe donc des entiers $m$ tels que $\sigma(\Delta_n) \subset O_m$ , et l'on note $M_\sigma$ le plus petit (Bon ordre sur ℕ).

Une chaîne est une somme finie de simplexes ; le plus grand $M$ des $M_\sigma$ correspondants convient, puisque la suite $(O_m)$ est croissante.

(ii) Il n'y a rien à démontrer si $n \leqslant -2$ . Sinon, $\alpha$ est la classe d'un cycle $z$ de $\tilde C_n(O_m)$ , et l'hypothèse dit que $z = \tilde\partial c$ pour une chaîne $c \in \tilde C_{n+1}(O)$ , avec $n + 1 \geqslant 0$ .

Par (i), $c$ est une chaîne de l'un des $O_M$ , que l'on peut prendre avec $M \geqslant m$ . Son bord, calculé dans $O_M$ , est encore $z$ : l'image de $\alpha$ dans $\tilde H_n(O_M)$ , classe de $z$ , est nulle.

□

Remarque

Tout repose sur le fait qu'une chaîne est une somme finie de simplexes, chacun d'image compacte : l'homologie ne voit que des morceaux compacts de l'espace. Aucun choix n'intervient, puisqu'on ne fixe qu'un cycle $z$ et une chaîne $c$ dont on affirme l'existence, et que $M$ est le plus petit entier qui convient.

Remarque

L'hypothèse que les $O_m$ sont ouverts est indispensable. Dans $\mathbb R$ , les fermés $O_m = \left]-\infty, 0\right] \cup \left[\frac1m, +\infty\right[$ , pour $m \geqslant 1$ , croissent et ont pour réunion $\mathbb R$ ; la classe de $1 - (-1)$ est non nulle dans chaque $\tilde H_0(O_m)$ , puisque $-1$ et $1$ n'y sont pas reliés par un chemin, et elle est nulle dans $\tilde H_0(\mathbb R)$ . Le segment de $-1$ à $1$ n'est contenu dans aucun $O_m$ .

Repose sur

Homologie réduite

Sert à

Le complémentaire d'une cellule n'a pas d'homologie