Le complémentaire d'une cellule n'a pas d'homologie

Réduction. Si $h : I^k \to S^n$ est continue et injective, $h(I^k)$ est homéomorphe à $I^k$, puisque $I^k$ est compact (Produit fini de compacts) et $S^n$ séparé (Bijection d'un compact). Réciproquement, un homéomorphisme de $I^k$ sur $E$ est continu et injectif. Montrons donc, par récurrence sur $k$, la propriété $P(k)$ : pour toute application continue injective $h : I^k \to S^n$, l'homologie réduite de $S^n \setminus h(I^k)$ est nulle en tout degré. Le dernier énoncé découle alors de Homologie réduite, (i) et (ii).

Initialisation. Pour $k = 0$, $h(I^0)$ est un point $q$, et $S^n \setminus \{q\}$ est homéomorphe à $\mathbb R^n$ (Calottes, (i)), qui est étoilé : son homologie réduite est nulle (Homologie réduite, (iii)).

Les ouverts. Supposons $P(k - 1)$ vraie, avec $k \geqslant 1$, et soit $h : I^k \to S^n$ continue et injective. Pour un segment $J \subset I$, posons $$E_J = I^{k-1} \times J, \qquad O_J = S^n \setminus h(E_J).$$ Pour $k = 1$, on identifie $I^0 \times J$ à $J$. La partie $E_J$, image réciproque de $J$ par la dernière coordonnée, est fermée dans le compact $I^k$, donc compacte ; $h(E_J)$ l'est aussi, donc fermé dans le séparé $S^n$ (Parties compactes), et $O_J$ est ouvert. Pour $c \in I$, on note de même $O_c = S^n \setminus h(I^{k-1} \times \{c\})$ ; l'application $y \mapsto h(y, c)$ est continue et injective sur $I^{k-1}$, et $P(k-1)$ donne $\tilde H_i(O_c) = 0$ pour tout $i$.

Un découpage. Soit $J = [a, b]$, $c = \frac{a + b}2$, $J' = [a, c]$ et $J'' = [c, b]$. On a $E_J = E_{J'} \cup E_{J''}$ et $E_{J'} \cap E_{J''} = I^{k-1} \times \{c\}$. Comme $h$ est injective, $h(E_{J'}) \cap h(E_{J''}) = h(E_{J'} \cap E_{J''})$, et, en passant aux complémentaires, $$O_{J'} \cap O_{J''} = O_J, \qquad O_{J'} \cup O_{J''} = O_c.$$

Puisque $\tilde H_{i+1}(O_c) = 0$, le morphisme $\tilde H_i(O_J) \to \tilde H_i(O_{J'}) \oplus \tilde H_i(O_{J''})$ est injectif (Mayer-Vietoris réduite, (iii)) : une classe non nulle de $\tilde H_i(O_J)$ a une image non nulle dans $\tilde H_i(O_{J'})$ ou dans $\tilde H_i(O_{J''})$.

Des segments emboîtés. Supposons qu'une classe $\alpha \in \tilde H_i(O_I)$ soit non nulle. Définissons par récurrence (Définition par récurrence) $J_0 = I$, puis $J_{m+1}$ égal à la moitié gauche de $J_m$ si l'image de $\alpha$ dans l'homologie de l'ouvert correspondant est non nulle, à la moitié droite sinon.

Si $J \subset J_*$, alors $E_J \subset E_{J_*}$ et $O_{J_*} \subset O_J$ : les inclusions $O_I \subset O_{J_1} \subset O_{J_2} \subset \cdots$ induisent des morphismes qui se composent. Par récurrence sur $m$, l'image $\alpha_m$ de $\alpha$ dans $\tilde H_i(O_{J_m})$ est non nulle : si $\alpha_m \neq 0$, le découpage montre que l'une des deux moitiés reçoit une image non nulle, et la règle choisit une telle moitié.

Passage à la limite. Écrivons $J_m = [a_m, b_m]$. La suite $(a_m)$ croît, $(b_m)$ décroît, et $b_m - a_m = 2^{-m}$ tend vers $0$ (Limites infinies, (iv)) : elles sont adjacentes, de limite commune $p$, avec $a_m \leqslant p \leqslant b_m$ (Suites adjacentes). Un point $t$ de tous les $J_m$ vérifie $|t - p| \leqslant 2^{-m}$ pour tout $m$, donc $\bigcap_m J_m = \{p\}$ et $\bigcap_m E_{J_m} = I^{k-1} \times \{p\}$.

Par injectivité de $h$, un point $y$ qui appartient à tous les $h(E_{J_m})$ a un unique antécédent, qui appartient à tous les $E_{J_m}$ : $\bigcap_m h(E_{J_m}) = h(I^{k-1} \times \{p\})$. En passant aux complémentaires, les ouverts $O_{J_m}$ forment une suite croissante de réunion $O_p$.

Conclusion. Par $P(k - 1)$, $\tilde H_i(O_p) = 0$, et l'image de $\alpha$ dans $\tilde H_i(O_p)$ est nulle. Le lemme Réunion croissante, (ii), appliqué à la suite $(O_{J_m})$ de réunion $O_p$ et à $\alpha \in \tilde H_i(O_{J_0})$, fournit un $M$ tel que $\alpha_M = 0$, ce qui est absurde. Donc $\tilde H_i(O_I) = 0$ pour tout $i$, ce qui est $P(k)$.