Calottes de la sphère, boules et cubes

(i) Le cas $p = S$. La projection stéréographique $\pi$ est un homéomorphisme de $S^m \setminus \{N\}$ sur $\mathbb R^m$ (Homologie des sphères), et $\pi(S) = 0$. Pour $x \in S^m$, on a $\|x - S\|^2 = \|x\|^2 + 2x_{m+1} + 1 = 2 + 2x_{m+1}$, et, si $x \neq N$, $$\|\pi(x)\|^2 = \frac{1 - x_{m+1}^2}{(1 - x_{m+1})^2} = \frac{1 + x_{m+1}}{1 - x_{m+1}}.$$

La fonction $g(t) = \frac{1 + t}{1 - t} = -1 + \frac{2}{1 - t}$ est strictement croissante sur $[-1, 1[$. Donc, pour $x \neq N$, $\|x - S\| < \varepsilon$ équivaut à $x_{m+1} < \frac{\varepsilon^2}2 - 1$, puis à $$\|\pi(x)\|^2 < g\Big(\frac{\varepsilon^2}2 - 1\Big) = \frac{\varepsilon^2}{4 - \varepsilon^2},$$ et de même avec des inégalités larges. Comme $\|N - S\| = 2 > \varepsilon$, le point $N$ n'est dans aucune des deux calottes, et la bijection $\pi$ envoie $C(S, \varepsilon)$ sur $B(0, r)$ et $K(S, \varepsilon)$ sur $\bar B(0, r)$.

Le cas général. Pour $p \neq S$, posons $u = p - S \neq 0$ et $$R(x) = x - 2\,\frac{\langle x, u\rangle}{\langle u, u\rangle}\,u.$$ C'est une application linéaire, continue, et, en développant par bilinéarité, $$\begin{aligned} \langle R(x), R(y)\rangle &= \langle x, y\rangle - 4\frac{\langle x, u\rangle\langle y, u\rangle}{\langle u, u\rangle} \\ &\quad + 4\frac{\langle x, u\rangle\langle y, u\rangle}{\langle u, u\rangle} \\ &= \langle x, y\rangle. \end{aligned}$$ De même $\langle R(x), u\rangle = \langle x, u\rangle - 2\langle x, u\rangle = -\langle x, u\rangle$, d'où $R(R(x)) = R(x) + 2\frac{\langle x, u\rangle}{\langle u, u\rangle}u = x$ : $R$ est une bijection de $S^m$ sur $S^m$ qui conserve les distances.

Comme $\|p\| = \|S\| = 1$, on a $\langle u, u \rangle = 2 - 2\langle p, S\rangle = 2\langle p, u\rangle$, donc $R(p) = p - u = S$, et $R(-p) = N$ par linéarité. On pose $R = \mathrm{id}$ si $p = S$, et $\varphi_p = \pi \circ R$, homéomorphisme de $S^m \setminus \{-p\}$ sur $\mathbb R^m$. Puisque $\|y - p\| = \|R(y) - S\|$, $R$ envoie $C(p, \varepsilon)$ sur $C(S, \varepsilon)$ et $K(p, \varepsilon)$ sur $K(S, \varepsilon)$, et l'on conclut par le premier cas.

Enfin $S^m \setminus \{q\}$ est homéomorphe à $\mathbb R^m$ par $\varphi_{-q}$.

(ii) Les normes sont $1$-lipschitziennes, donc continues (Topologie d'une distance, (iv)). L'application $f(x) = \frac{\|x\|_2}{\|x\|_\infty}x$ est donc continue hors de $0$, et elle l'est en $0$ puisque $\|f(x)\|_\infty = \|x\|_2$. De même, $g(y) = \frac{\|y\|_\infty}{\|y\|_2}y$, prolongée par $g(0) = 0$, est continue et vérifie $\|g(y)\|_2 = \|y\|_\infty$.

Ainsi $f(D^m) \subset [-1, 1]^m$ et $g([-1, 1]^m) \subset D^m$. Pour $x \neq 0$, $f(x)$ est un multiple positif de $x$, avec $\|f(x)\|_\infty = \|x\|_2$ et $\|f(x)\|_2 = \frac{\|x\|_2^2}{\|x\|_\infty}$, donc $$g(f(x)) = \frac{\|x\|_\infty}{\|x\|_2}\cdot\frac{\|x\|_2}{\|x\|_\infty}\,x = x,$$ et de même $f \circ g = \mathrm{id}$. Enfin $y \mapsto \frac12\big(y + (1, \dots, 1)\big)$ est un homéomorphisme de $[-1, 1]^m$ sur $I^m$.

Pour $m \geqslant 1$, $K(p, \varepsilon)$ est homéomorphe à $\bar B(0, r)$ par (i), puis à $D^m$ par $z \mapsto z/r$. Pour $m = 0$, $S^0 = \{p, -p\}$ et $\|{-p} - p\| = 2 > \varepsilon$, donc $K(p, \varepsilon) = \{p\}$ est un point, comme $D^0$.

Pour $y \in S^m$, $\|y - p\|^2 + \|y + p\|^2 = 2\|y\|^2 + 2\|p\|^2 = 4$. Ainsi $\|y - p\| \geqslant \varepsilon$ équivaut à $\|y + p\| \leqslant \sqrt{4 - \varepsilon^2}$, nombre compris strictement entre $0$ et $2$. De même $\|x - N\|^2 = 2 - 2x_{m+1}$ est au plus $2$ si et seulement si $x_{m+1} \geqslant 0$, et l'on raisonne de même avec $S$.

(iii) Pour $m = 0$, $C(p, \varepsilon) = \{p\}$. Pour $m \geqslant 1$, $C(p, \varepsilon)$ est l'image par $\varphi_p^{-1}$ de la boule $B(0, r)$, qui est convexe : deux de ses points y sont joints par un segment (Chemins, (ii)), dont l'image est un chemin.

Pour $m \geqslant 2$, $C(p, \varepsilon) \setminus \{p\}$ est l'image de $B(0, r) \setminus \{0\}$. Pour $z$ dans cette boule épointée, le segment $$t \mapsto \Big((1 - t) + t\,\frac{r}{2\|z\|}\Big)\,z$$ joint $z$ au point $\frac{r}{2\|z\|}z$ sans quitter la boule épointée, la norme restant entre $\|z\|$ et $\frac r2$. La sphère $\{\|z\| = \frac r2\}$, image de $S^{m-1}$ par $z \mapsto \frac r2 z$, est connexe par arcs, puisque $m - 1 \geqslant 1$ (Homologie des sphères).