Homologie du complémentaire d'une sphère topologique

(i) Montrons, par récurrence sur $k$, l'énoncé pour toute application continue injective $h : S^k \to S^n$ et $\Sigma = h(S^k)$, ce qui suffit.

Le cas $k = 0$. $\Sigma = \{q, q'\}$ avec $q \neq q'$. Par $\varphi_{-q}$ (Calottes, (i)), $S^n \setminus \{q\}$ est homéomorphe à $\mathbb R^n$, et $S^n \setminus \Sigma$ à $\mathbb R^n$ privé d'un point $w$, puis à $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ par translation.

La preuve de Brouwer, dimension, (iii), montre que l'inclusion de $S^{n-1}$ dans $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ est une équivalence d'homotopie, d'inverse $x \mapsto x/\|x\|$. Donc $S^n \setminus \Sigma$ a l'homologie réduite de $S^{n-1}$ (Homologie réduite, (iii)).

Si $n \geqslant 2$, $\tilde H_{n-1}(S^{n-1}) \cong \mathbb Z$, les autres groupes étant nuls (Homologie des sphères et Homologie réduite, (i) et (ii), $S^{n-1}$ étant connexe par arcs). Si $n = 1$, $S^0$ a deux points : $\tilde H_0(S^0) \cong \mathbb Z$, et $H_k(S^0) = 0$ pour $k \geqslant 1$ (Homologie des sphères), les autres groupes étant nuls. Dans les deux cas, le seul groupe non nul est en degré $n - 1 = n - k - 1$.

Le pas de récurrence. Soit $k \geqslant 1$, et supposons l'énoncé établi en dimension $k - 1$. Les hémisphères fermés $D_+ = \{x_{k+1} \geqslant 0\}$ et $D_- = \{x_{k+1} \leqslant 0\}$ de $S^k$ sont homéomorphes à $I^k$ (Calottes, (ii)), et leur intersection est l'équateur, image de $S^{k-1}$ par $e(y) = (y, 0)$.

Posons $A = S^n \setminus h(D_+)$ et $B = S^n \setminus h(D_-)$, ouverts puisque $h(D_\pm)$ est compact. Par Complémentaire d'une cellule, appliqué aux restrictions de $h$, leur homologie réduite est nulle.

Par injectivité de $h$, $h(D_+) \cap h(D_-) = h(D_+ \cap D_-)$, d'où $$\begin{aligned} A \cap B &= S^n \setminus \Sigma, \\ A \cup B &= S^n \setminus h\big(e(S^{k-1})\big). \end{aligned}$$

Par Mayer-Vietoris réduite, (iii), $\delta : \tilde H_{i+1}(A \cup B) \to \tilde H_i(A \cap B)$ est un isomorphisme pour tout $i$. Or $h \circ e : S^{k-1} \to S^n$ est continue et injective, avec $k - 1 \leqslant n$ : par hypothèse de récurrence, $\tilde H_{i+1}(A \cup B) \cong \mathbb Z$ si $i + 1 = n - (k - 1) - 1$, c'est-à-dire si $i = n - k - 1$, et il est nul sinon.

(ii) On lit (i) avec Homologie réduite, (i) et (ii). Si $k \leqslant n - 2$, $n - k - 1 \geqslant 1$ et $\tilde H_{-1} = \tilde H_0 = 0$. Si $k = n - 1$, $\tilde H_{-1} = 0$ et $\tilde H_0 \cong \mathbb Z$. Si $k = n$, $\tilde H_{-1} \cong \mathbb Z$ : le complémentaire est vide.