Homologie réduite

(i) En degré $n \geqslant 2$, les deux complexes ont les mêmes groupes et les mêmes bords. En degré $1$, les cycles $\operatorname{Ker}\partial_1$ et les bords $\operatorname{Im}\partial_2$ sont les mêmes. En degré $-1$, tout élément de $\mathbb Z$ est un cycle, et les bords forment $\varepsilon(C_0(X))$.

Si $X$ contient un point $x$, $\varepsilon(x) = 1$ et $\varepsilon(C_0(X)) = \mathbb Z$, d'où $\tilde H_{-1}(X) = 0$ ; si $X$ est vide, $C_0(X) = 0$ et $\tilde H_{-1}(X) = \mathbb Z$.

(ii) Soit $\Pi$ l'ensemble des composantes connexes par arcs de $X$. La preuve de Degré 0, point, (ii), fournit un morphisme surjectif $\bar\varepsilon : C_0(X) \to \mathbb Z^{(\Pi)}$, qui envoie un point sur sa composante, de noyau $B_0$. Si $s : \mathbb Z^{(\Pi)} \to \mathbb Z$ est la somme des coefficients, on a $\varepsilon = s \circ \bar\varepsilon$.

L'isomorphisme $C_0(X)/B_0 \to \mathbb Z^{(\Pi)}$ induit par $\bar\varepsilon$ envoie donc $\tilde H_0(X) = \operatorname{Ker}\varepsilon / B_0$ sur $\bar\varepsilon(\operatorname{Ker}\varepsilon)$, qui est $\operatorname{Ker} s$ : si $s(y) = 0$ et $y = \bar\varepsilon(c)$, alors $\varepsilon(c) = 0$.

Fixons $\pi_0 \in \Pi$, qui existe puisque $X$ n'est pas vide. Un élément $\sum n_\pi \pi$ de $\operatorname{Ker} s$ vérifie $n_{\pi_0} = -\sum_{\pi \neq \pi_0} n_\pi$, donc s'écrit de façon unique $$\sum_{\pi \neq \pi_0} n_\pi\, (\pi - \pi_0),$$ et $\operatorname{Ker} s$ est isomorphe à $\mathbb Z^{(T)}$, avec $T = \Pi \setminus \{\pi_0\}$. Il est nul si et seulement si $T$ est vide, c'est-à-dire si $X$ est connexe par arcs.

Reste à voir que $\mathbb Z^{(T)} \cong \mathbb Z$ si et seulement si $T$ a un seul élément. La classe de $\sum n_\tau \tau$ modulo $2\mathbb Z^{(T)}$ ne dépend que de la parité des $n_\tau$ : le quotient a $2^t$ éléments si $T$ en a $t$, et il est infini si $T$ est infini. Un isomorphisme $\mathbb Z^{(T)} \to \mathbb Z$ envoie $2\mathbb Z^{(T)}$ sur $2\mathbb Z$ et induit une bijection sur les quotients ; comme $\mathbb Z/2\mathbb Z$ a deux éléments, $2^t = 2$ et $t = 1$. Réciproquement, si $T = \{\tau\}$, $\mathbb Z^{(T)} = \mathbb Z\tau$ est isomorphe à $\mathbb Z$ par $n\tau \mapsto n$.

(iii) Soient $f$ et $g$ homotopes. En degré $n \geqslant 1$, les groupes et les morphismes induits sont ceux de l'homologie singulière, et $f_* = g_*$ (Invariance par homotopie, (i)).

En degré $0$, $\tilde H_0(X) = \operatorname{Ker}\varepsilon / B_0$ est un sous-groupe de $H_0(X) = C_0(X)/B_0$, et $f_*$ y est la restriction du morphisme induit sur $H_0(X)$ ; elle ne change pas quand on remplace $f$ par $g$. En degré $-1$, $f_*$ et $g_*$ sont induits par l'identité de $\mathbb Z$.

Le cas d'une équivalence d'homotopie s'en déduit comme dans Invariance par homotopie, (ii). Enfin l'homologie réduite d'un point est nulle : en degré $n \geqslant 1$ par Degré 0, point, (i), en degré $0$ par (ii), en degré $-1$ par (i).