ChapitreHomologie

Cohomologie singulière

La cohomologie singulière $H^n(X; G)$ est la cohomologie du complexe dual $\operatorname{Hom}(C(X), G)$ : une cochaîne attribue un élément du groupe abélien $G$ à chaque simplexe singulier. Les flèches s'y renversent, une application continue $f : X \to Y$ induisant $f^* : H^n(Y; G) \to H^n(X; G)$. L'invariance par homotopie et la suite de Mayer-Vietoris se déduisent des résultats d'homologie par transposition, sans refaire les démonstrations, et donnent la cohomologie des sphères.

Le chapitre compare ensuite cohomologie et homologie. Le groupe $\operatorname{Ext}(A, G)$, défini par une présentation projective de $A$, mesure le défaut d'exactitude de $\operatorname{Hom}(-, G)$, et vaut $G/nG$ pour $A = \mathbb Z/n\mathbb Z$. Le théorème des coefficients universels, $0 \to \operatorname{Ext}(H_{n-1}, G) \to H^n \to \operatorname{Hom}(H_n, G) \to 0$, est démontré sans choix pour un complexe dont les chaînes et les bords sont projectifs ; pour le complexe singulier d'un espace quelconque, sa démonstration emploie l'axiome du choix, et rien n'en dépend.

Le théorème de Dedekind y est démontré au passage : tout sous-groupe d'un groupe abélien libre dont la base est bien ordonnée est libre, avec une base déterminée par ce bon ordre, construite par une division euclidienne transfinie et sans aucun choix.