Les sous-groupes d'un groupe abélien libre sont libres

Un exemple dans $\mathbb Z^2$, avec $I = \{0, 1\}$, $0 < 1$, en notant $(a, b) = ae_0 + be_1$. Soit $H$ le sous-groupe engendré par $(4, 2)$ et $(5, 4)$. Une combinaison $c(4, 2) + d(5, 4)$ a pour seconde coordonnée $2c + 4d$ : on obtient tous les entiers pairs, et $n_1 = 2$.

Elle appartient à $H_{\leqslant 0}$ si $2c + 4d = 0$, c'est-à-dire $c = -2d$, et vaut alors $d(-3, 0)$ : $H_{\leqslant 0} = 3\mathbb Z e_0$ et $n_0 = 3$. Les éléments de $H$ de seconde coordonnée $2$ sont les $(1 + 3k, 2)$, $k \in \mathbb Z$ ; un seul est réduit sous $1$, celui dont la première coordonnée est dans $\{0, 1, 2\}$. La base canonique est $$h_0 = (3, 0), \qquad h_1 = (1, 2),$$ et l'on retrouve les générateurs : $(4, 2) = h_0 + h_1$ et $(5, 4) = h_0 + 2h_1$. Le déterminant des deux générateurs, $4 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 6$, est égal à $n_0 n_1$, et c'est l'indice de $H$ dans $\mathbb Z^2$ : la base triangulaire le lit sur sa diagonale.

Un exemple où certains indices ne sont pas des pivots : le sous-groupe de $\mathbb Z^3$ engendré par $u = (3, 2, 4)$ et $v = (1, 4, 2)$. Une combinaison $cu + dv$ qui appartient à $H_{\leqslant 0}$ a ses deux dernières coordonnées nulles, $2c + 4d = 4c + 2d = 0$, d'où $c = d = 0$ : $n_0 = 0$. Elle appartient à $H_{\leqslant 1}$ si $d = -2c$, et vaut alors $c(1, -6, 0)$ : $n_1 = 6$.

La troisième coordonnée $4c + 2d$ décrit $2\mathbb Z$, donc $n_2 = 2$, et $v$ est déjà réduit sous $2$, puisque $0 \leqslant 4 < 6$. La base canonique est $$h_1 = (-1, 6, 0), \qquad h_2 = (1, 4, 2),$$ avec $u = -h_1 + 2h_2$ et $v = h_2$. La coordonnée $-1$ de $h_1$ n'est pas réduite : l'indice $0$ n'est pas un pivot. Le groupe $H$ a une base de deux éléments, indexée par les pivots $1$ et $2$, bien que $I$ en ait trois.

Pour $I = \{1, \dots, k\}$, on retrouve le point (iii) du nœud Groupes projectifs, dont la démonstration par récurrence sur $k$ prenait un élément $h$ quelconque de dernière coordonnée $d$ ; la réduction en fait ici un élément déterminé, et la base obtenue est une forme normale d'Hermite : triangulaire, à pivots positifs, et réduite aux pivots. Le chapitre Modules sur un anneau principal étend le cas du rang fini aux modules sur un anneau principal.

La division euclidienne de $\mathbb Z$, avec ses restes canoniques, est ce qui permet de désigner un relèvement $h_i$ parmi tous ceux de $n_i$, qui forment une classe modulo $H_{<i}$. Sans elle, la démonstration devrait choisir un relèvement pour chaque pivot, simultanément pour une famille infinie d'indices : ce serait un usage de l'axiome du choix, en plus du bon ordre. C'est pourquoi elle ne se transpose pas telle quelle à un anneau principal quelconque, où les restes ne sont pas définis de façon unique ; hors de $\mathbb Z$, même le générateur d'un idéal n'est défini qu'à une unité près.

Pour un ensemble $S$ quelconque, le théorème de Zermelo (Théorème de Zermelo) fournit un bon ordre ⋆, et le théorème montre alors que tout sous-groupe de $\mathbb Z^{(S)}$ est libre : c'est l'énoncé usuel, et le choix n'y sert qu'à bien ordonner $S$. Pour $S = \mathbb N$, bien ordonné sans aucun choix (Bon ordre sur ℕ), il devient inutile : tout sous-groupe de $\mathbb Z^{(\mathbb N)}$ est libre dans $\mathsf{ZF}$.

Sans bon ordre de la base, l'énoncé peut tomber en défaut dans une théorie des ensembles sans choix. Blass construit un modèle de permutation de $\mathsf{ZFA}$ (théorie des ensembles avec atomes) dans lequel un sous-groupe projectif d'un groupe abélien libre n'est pas libre (Injectivity, projectivity, and the axiom of choice, Trans. Amer. Math. Soc. 255, 1979, p. 31-59, exemple 7.1, p. 51-54). Ce modèle n'est pas un modèle de $\mathsf{ZF}$, et l'on n'affirme pas ici que l'énoncé usuel soit indémontrable dans $\mathsf{ZF}$.

Qu'un groupe projectif $G$ soit isomorphe à un sous-groupe d'un groupe libre se voit sans choix : le morphisme surjectif de $\mathbb Z^{(G)}$ sur $G$ qui envoie chaque élément de la base sur lui-même a une section $s$ (Groupes projectifs, (ii)), injective, et $G \cong s(G)$. Dans l'énoncé démontré ici, tout l'usage du choix est porté par le bon ordre de la base.

Le théorème est un résultat classique attribué à Dedekind (D. L. Johnson, Topics in the Theory of Group Presentations, Cambridge University Press, 1980, §2). Son analogue pour les groupes libres non commutatifs est le théorème de Nielsen-Schreier, démontré par Nielsen en 1921 pour les sous-groupes de type fini et par Schreier en 1927 en général. Lang en donne une démonstration par le lemme de Zorn (Algebra, 3e éd., Springer, 2002, appendice 2, §2) ; Kaplansky préfère un bon ordre de la base (Set Theory and Metric Spaces, rééd. AMS Chelsea, 2001, p. 124-125), comme ici.