Groupes abéliens projectifs

(i) Soient $p : M \to N$ surjectif et $u : \mathbb Z^k \to N$. Pour chaque $j \leqslant k$, $u(e_j)$ a un antécédent $m_j$ par $p$ ; ces $k$ éléments en nombre fini s'obtiennent par une récurrence sur $k$, sans aucun axiome du choix. Le morphisme $v$ qui envoie $e_j$ sur $m_j$ (Complexes de chaînes, (i)) vérifie $p(v(e_j)) = u(e_j)$, donc $p \circ v = u$.

Si $\theta : P \to Q$ est un isomorphisme et $P$ est projectif, un morphisme $u : Q \to N$ se relève ainsi : on relève $u \circ \theta$ en $v : P \to M$, et $v \circ \theta^{-1}$ vérifie $p \circ v \circ \theta^{-1} = u$. Pour une somme directe $P \oplus P'$, on relève séparément les restrictions de $u$ à $P$ et à $P'$, et l'on additionne.

Pour un rétracte, on relève $u \circ r : P \to N$ en $v$, puis l'on pose $v' = v \circ s$ ; alors $$p \circ v' = u \circ r \circ s = u.$$

(ii) On relève $\mathrm{id}_P$ le long de $p$. Alors $p \circ r = p - p \circ s \circ p = 0$, donc $r(M) \subset \operatorname{Ker} p$, et $r(x) = x$ si $p(x) = 0$.

(iii) Récurrence sur $k$ ; le cas $k = 0$ est clair. Soit $H$ un sous-groupe de $\mathbb Z^k$, $k \geqslant 1$, et $\pi : \mathbb Z^k \to \mathbb Z$ la dernière coordonnée. Le sous-groupe $\pi(H)$ de $\mathbb Z$ s'écrit $d\mathbb Z$ avec $d \in \mathbb N$ (Idéaux de ℤ), et $H' = H \cap \operatorname{Ker}\pi$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mathbb Z^{k-1}$, donc, par hypothèse de récurrence, à un $\mathbb Z^{r'}$ avec $r' \leqslant k - 1$, par un isomorphisme $\theta$.

Si $d = 0$, $H = H'$. Sinon, soit $h \in H$ tel que $\pi(h) = d$. Le morphisme $(a, m) \mapsto \theta(a) + mh$ de $\mathbb Z^{r'} \times \mathbb Z$ dans $H$ est surjectif : si $x \in H$, $\pi(x) = md$ pour un entier $m$, et $x - mh \in H'$. Il est injectif : si $\theta(a) + mh = 0$, alors $md = 0$, d'où $m = 0$ et $a = 0$.