Définition 4Cohomologie singulière

Le groupe Ext

Une présentation projective d'un groupe abélien $A$ est une suite exacte courte $0 \to R \xrightarrow{\iota} P \xrightarrow{\pi} A \to 0$ où $P$ est projectif. Pour un groupe abélien $G$ , avec les groupes $\operatorname{Hom}$ et les morphismes transposés $\iota^*$ du nœud Complexes de cochaînes, on pose $\operatorname{Ext}_P(A, G) = \frac{\operatorname{Hom}(R, G)}{\iota^*\operatorname{Hom}(P, G)} :$ c'est le groupe des morphismes de $R$ dans $G$ , modulo ceux qui se prolongent à $P$ .

Tout groupe $A$ de type fini, c'est-à-dire engendré par une famille finie $(a_1, \dots, a_k)$ , a une présentation projective : le morphisme $\pi : \mathbb Z^k \to A$ qui envoie $e_j$ sur $a_j$ est surjectif, et $R = \operatorname{Ker}\pi$ (Groupes projectifs, (i)).

Énoncé

(i) Indépendance. Soient $0 \to R \to P \to A \to 0$ et $0 \to R' \to P' \to A \to 0$ deux présentations projectives de $A$ . Il existe un morphisme $f : P \to P'$ tel que $\pi' \circ f = \pi$ ; il envoie $R$ dans $R'$ , et le morphisme $f^\flat : \operatorname{Ext}_{P'}(A, G) \to \operatorname{Ext}_P(A, G),$ $[\psi] \mapsto [\psi \circ f|_R]$ , ne dépend pas de $f$ et est un isomorphisme. On note ${\operatorname{Ext}}(A, G)$ ce groupe, défini à isomorphisme canonique près.

(ii) Calculs. Si $A$ est projectif, $\operatorname{Ext}(A, G) = 0$ . Pour $n \geqslant 1$ , $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/n\mathbb Z, G) \cong G/nG,$ où $nG = \{ng : g \in G\}$ . Si $A$ et $A'$ ont des présentations projectives, $\operatorname{Ext}(A \oplus A', G) \cong \operatorname{Ext}(A, G) \oplus \operatorname{Ext}(A', G)$ . En particulier, pour des entiers $n_1, \dots, n_s \geqslant 1$ , $\begin{aligned} &\operatorname{Ext}\Big(\mathbb Z^r \oplus \bigoplus_{i=1}^s \mathbb Z/n_i\mathbb Z,\ G\Big) \\ &\quad \cong \bigoplus_{i=1}^s G/n_iG. \end{aligned}$

Démonstration

(i) Comme $P$ est projectif et $\pi'$ surjectif, $\pi$ se relève en $f : P \to P'$ avec $\pi' \circ f = \pi$ . On identifie $R$ et $R'$ à leurs images par $\iota$ et $\iota'$ . Si $x \in R$ , $\pi'(f(x)) = \pi(x) = 0$ , donc $f(x) \in R'$ .

\begin{CD} R @>{\iota}>> P @>{\pi}>> A \\ @V{f|_R}VV @V{f}VV @| \\ R' @>{\iota'}>> P' @>{\pi'}>> A \end{CD}

Le diagramme commute, et $f|_R$ transporte les morphismes qui se prolongent : si $\psi = \chi \circ \iota'$ avec $\chi \in \operatorname{Hom}(P', G)$ , alors $\psi \circ f|_R = (\chi \circ f) \circ \iota$ . Le morphisme $f^\flat$ est donc bien défini.

Si $g$ est un autre relèvement, $\pi' \circ (f - g) = 0$ , et $f - g$ est à valeurs dans $R'$ . Pour $\psi \in \operatorname{Hom}(R', G)$ , $\psi \circ f|_R - \psi \circ g|_R = \big(\psi \circ (f - g)\big) \circ \iota,$ où $\psi \circ (f - g) \in \operatorname{Hom}(P, G)$ : les deux classes sont égales. Le morphisme $f^\flat$ est ainsi déterminé par les deux présentations, sans qu'il faille choisir de relèvement.

Si $f' : P' \to P''$ relève $\pi'$ le long de $\pi''$ , $f' \circ f$ relève $\pi$ , d'où $(f' \circ f)^\flat = f^\flat \circ f'^\flat$ ; l'identité relève $\pi$ le long de lui-même, d'où $\mathrm{id}^\flat = \mathrm{id}$ . Avec un relèvement $f' : P' \to P$ de $\pi'$ le long de $\pi$ , on obtient $f^\flat \circ f'^\flat = \mathrm{id}$ et $f'^\flat \circ f^\flat = \mathrm{id}$ .

(ii) Si $A$ est projectif, $0 \to 0 \to A \xrightarrow{\mathrm{id}} A \to 0$ est une présentation projective, et $\operatorname{Hom}(0, G) = 0$ .

Pour $\mathbb Z/n\mathbb Z$ , on prend la présentation $0 \to \mathbb Z \xrightarrow{\times n} \mathbb Z \to \mathbb Z/n\mathbb Z \to 0$ . Un morphisme de $\mathbb Z$ dans $G$ est déterminé par l'image $g$ de $1$ (Complexes de chaînes, (i)) : $\operatorname{Hom}(\mathbb Z, G) \cong G$ . Dans cette identification, $\iota^*$ envoie le morphisme $1 \mapsto g$ sur $1 \mapsto ng$ , c'est-à-dire $g$ sur $ng$ , et le conoyau est $G/nG$ .

Pour une somme directe, la somme de deux présentations projectives est une présentation projective de $A \oplus A'$ (Groupes projectifs, (i)), et $\operatorname{Hom}(R \oplus R', G) = \operatorname{Hom}(R, G) \times \operatorname{Hom}(R', G)$ , de même pour $P \oplus P'$ , compatiblement avec $\iota^*$ . Le cas particulier s'en déduit, $\mathbb Z^r$ étant projectif.

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Remarque

Quelques valeurs, que l'on vérifie sur la formule $G/nG$ : $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/n\mathbb Z, \mathbb Z) \cong \mathbb Z/n\mathbb Z$ ; $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/2\mathbb Z, \mathbb Z/3\mathbb Z) = 0$ , puisque $2$ est inversible modulo $3$ ; $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/4\mathbb Z, \mathbb Z/6\mathbb Z) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ , puisque $(\mathbb Z/6\mathbb Z)/4(\mathbb Z/6\mathbb Z) = (\mathbb Z/6\mathbb Z)/2(\mathbb Z/6\mathbb Z)$ ; et $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/n\mathbb Z, \mathbb Q) = 0$ , tout rationnel étant divisible par $n$ . Le groupe $\operatorname{Ext}(A, G)$ est nul quand $A$ est projectif, comme $\mathbb Z$ , et vaut $G/nG$ pour $A = \mathbb Z/n\mathbb Z$ , groupe qui s'annule quand la multiplication par $n$ est surjective sur $G$ .

Remarque

Tout groupe abélien de type fini est isomorphe à un groupe $\mathbb Z^r \oplus \bigoplus_i \mathbb Z/n_i\mathbb Z$ , par le théorème de structure des modules de type fini sur un anneau principal, démontré au chapitre Modules sur un anneau principal : (ii) calcule donc $\operatorname{Ext}(A, G)$ pour tout groupe $A$ de type fini. Pour un groupe quelconque, l'existence d'une présentation projective se démontre ici par la projectivité du groupe libre $\mathbb Z^{(A)}$ , qui emploie l'axiome du choix (remarque du nœud Groupes projectifs).

Remarque

Le nom vient des extensions : $\operatorname{Ext}(A, G)$ classifie les groupes abéliens $E$ qui contiennent $G$ avec $E/G \cong A$ , à une équivalence près. Pour $A = G = \mathbb Z/2\mathbb Z$ , les deux classes sont celles de $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ et de $\mathbb Z/4\mathbb Z$ ; cette classification est admise ici. Baer a muni ces classes d'une loi de groupe (Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen, Math. Z. 38, 1934, p. 374-416) ; Eilenberg et Mac Lane les ont reliées à l'homologie (Group extensions and homology, Ann. of Math. 43, 1942, p. 757-831), et y démontrent le théorème des coefficients universels du nœud Coefficients universels pour les polyèdres.

Repose sur

Complexes de cochaînes et dualité Groupes abéliens projectifs

Sert à

Théorème des coefficients universels