Définition 1Cohomologie singulière

Complexes de cochaînes et dualité

Pour deux groupes abéliens $A$ et $G$, on note $\operatorname{Hom}(A, G)$ l'ensemble des morphismes de $A$ dans $G$ ; c'est un groupe abélien pour l'addition point par point, $(\varphi + \psi)(a) = \varphi(a) + \psi(a)$.

Un morphisme $u : A \to B$ induit le morphisme $u^* : \operatorname{Hom}(B, G) \to \operatorname{Hom}(A, G)$, $\varphi \mapsto \varphi \circ u$. On a $(v \circ u)^* = u^* \circ v^*$ et $\mathrm{id}^* = \mathrm{id}$ : le sens des flèches s'inverse.

Un complexe de cochaînes $K$ est une suite $(K^n)_{n \in {\mathbb Z}}$ de groupes abéliens et de morphismes $\delta^n : K^n \to K^{n+1}$, les cobords, tels que $\delta^{n+1} \circ \delta^n = 0$. On pose $Z^n = \operatorname{Ker}\delta^n$, les cocycles, $B^n = \operatorname{Im}\delta^{n-1} \subset Z^n$, dont les éléments sont aussi appelés cobords, et la cohomologie de $K$ est $$H^n(K) = Z^n/B^n.$$

Un morphisme de complexes de cochaînes $f : K \to L$ est une suite de morphismes $f^n : K^n \to L^n$ tels que $\delta f^n = f^{n+1}\delta$ ; une homotopie entre deux morphismes $f, g : K \to L$ est une suite de morphismes $Q^n : K^n \to L^{n-1}$ tels que $\delta Q + Q\delta = g - f$.

Il n'y a là rien de nouveau. En posant $C_n = K^{-n}$ et $\partial_n = \delta^{-n}$, on obtient un complexe de chaînes, dont l'homologie est ${H_n}(C) = H^{-n}(K)$ ; morphismes et homotopies se correspondent de même. Tout ce qu'établissent les nœuds Complexes de chaînes et Suite exacte longue vaut donc pour les cochaînes.

Le complexe dual d'un complexe de chaînes $C$, à coefficients dans un groupe abélien $G$, est le complexe de cochaînes $\operatorname{Hom}(C, G)$ de terme $\operatorname{Hom}(C_n, G)$ en degré $n$, de cobord $\delta^n = \partial_{n+1}^*$ : $$(\delta\varphi)(c) = \varphi(\partial c), \quad c \in C_{n+1}.$$ On a $\delta\delta = (\partial\partial)^* = 0$. On note $H^n(C; G)$ sa cohomologie.