Théorème des coefficients universels ⋆

Le noyau de $h$, sans hypothèse. Un cocycle de degré $n$ est un $\varphi \in \operatorname{Hom}(C_n, G)$ tel que $\varphi \circ \partial_{n+1} = 0$, c'est-à-dire nul sur $B_n$, et $h[\varphi]$ est la restriction de $\varphi$ à $Z_n$, passée au quotient.

Si $h[\varphi] = 0$, $\varphi$ est nul sur $Z_n = \operatorname{Ker}\partial_n$ ; comme $\partial_n$ induit un isomorphisme de $C_n/Z_n$ sur $B_{n-1}$ (Théorème d'isomorphisme), $\varphi = \psi \circ \partial_n$ pour un unique $\psi \in \operatorname{Hom}(B_{n-1}, G)$. Réciproquement, tout $\psi \circ \partial_n$ est un cocycle, nul sur $Z_n$.

Un tel cocycle est un cobord $\chi \circ \partial_n$, avec $\chi \in \operatorname{Hom}(C_{n-1}, G)$, si et seulement si $\psi$ est la restriction de $\chi$ à $B_{n-1}$, puisque $\partial_n$ est surjectif de $C_n$ sur $B_{n-1}$. Ainsi $\psi \mapsto [\psi \circ \partial_n]$ induit un isomorphisme $$\frac{\operatorname{Hom}(B_{n-1}, G)}{\{\chi|_{B_{n-1}} : \chi \in \operatorname{Hom}(C_{n-1}, G)\}} \cong \operatorname{Ker} h.$$

Sous les hypothèses de (i). Comme $B_{n-2}$ est projectif, la surjection $\partial_{n-1} : C_{n-1} \to B_{n-2}$ a une section qui est un morphisme, et $Z_{n-1}$ est un rétracte de $C_{n-1}$ par un morphisme $r_{n-1}$ (Groupes projectifs, (ii)). Il est donc projectif (même nœud, (i)), et $0 \to B_{n-1} \to Z_{n-1} \to H_{n-1}(C) \to 0$ est une présentation projective.

Tout morphisme $\chi'$ de $Z_{n-1}$ dans $G$ se prolonge à $C_{n-1}$, en $\chi' \circ r_{n-1}$. Les restrictions à $B_{n-1}$ des morphismes définis sur $C_{n-1}$ sont donc celles des morphismes définis sur $Z_{n-1}$, et le quotient ci-dessus est $\operatorname{Ext}(H_{n-1}(C), G)$, calculé par cette présentation (Le groupe Ext). On obtient l'exactitude en $\operatorname{Ext}$ et en $H^n(C; G)$.

Surjectivité de $h$. De même, $Z_n$ est un rétracte de $C_n$ par un morphisme $r_n$, $B_{n-1}$ étant projectif. Pour $\psi \in \operatorname{Hom}(H_n(C), G)$, soit $\psi'$ sa composée avec la projection $Z_n \to H_n(C)$, et $\varphi = \psi' \circ r_n$. Pour $c \in C_{n+1}$, $\partial c \in B_n \subset Z_n$, donc $$\varphi(\partial c) = \psi'(\partial c) = 0 :$$ $\varphi$ est un cocycle, et $h[\varphi] = \psi$, puisque $r_n$ est l'identité sur $Z_n$.

Le morphisme $s : \psi \mapsto [\psi' \circ r_n]$ vérifie $h \circ s = \mathrm{id}$, et $\xi \mapsto (\xi - s(h(\xi)), h(\xi))$ identifie $H^n(C; G)$ à $\operatorname{Ker} h \oplus \operatorname{Hom}(H_n(C), G)$ : la suite est scindée.

Si chaque $C_n$ est isomorphe à un $\mathbb Z^k$, il est projectif, et $B_n$, sous-groupe de $C_n$, l'est aussi (Groupes projectifs, (i) et (iii)).

(ii) Par définition (Cohomologie singulière), $H^n(X; G)$ est la cohomologie du dual du complexe singulier $C(X)$, dont il suffit de vérifier qu'il satisfait les hypothèses de (i). Le groupe $C_n(X)$ est libre sur l'ensemble $S_n$ des simplexes singuliers. Il est projectif, par l'argument de Groupes projectifs, (i) : pour relever $u : C_n(X) \to N$ le long d'une surjection $p : M \to N$, on choisit, pour chaque $\sigma \in S_n$, un antécédent $m_\sigma$ de $u(\sigma)$, et l'on envoie $\sigma$ sur $m_\sigma$. L'ensemble $S_n$ étant infini en général, ce n'est plus une récurrence finie, mais une application de l'axiome du choix à la famille $\big(p^{-1}(u(\sigma))\big)_{\sigma \in S_n}$ ⋆.

Le groupe $B_n(X)$ est un sous-groupe de $C_n(X)$. Par le théorème de Zermelo (Théorème de Zermelo), l'ensemble $S_n$ admet un bon ordre ⋆, et le théorème de Dedekind (Théorème de Dedekind) montre que $B_n(X)$ est libre, sur une partie de $S_n$. Il est donc projectif, par l'argument précédent appliqué à cette base, et l'on applique (i).