Définition 2Cohomologie singulière

Cohomologie singulière

Soit $X$ un espace topologique et $G$ un groupe abélien. Le groupe des cochaînes singulières de degré $n \geqslant 0$ est $C^n(X; G) = \operatorname{Hom}\big(C_n(X), G\big),$ et l'on pose $C^n(X; G) = 0$ pour $n < 0$ . Par la propriété universelle des groupes abéliens libres (Complexes de chaînes, (i)), une cochaîne n'est rien d'autre qu'une application quelconque de l'ensemble des simplexes singuliers de dimension $n$ dans $G$ .

Le cobord est le transposé du bord : pour un simplexe $\sigma$ de dimension $n + 1$ , $(\delta\varphi)(\sigma) = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i\, \varphi(\sigma \circ \delta_i).$ La cohomologie singulière de $X$ à coefficients dans $G$ , notée ${H^n}(X; G)$ , est la cohomologie de ce complexe, dual du complexe singulier $C(X)$ au sens du nœud Complexes de cochaînes.

Énoncé

(i) Fonctorialité. Une application continue $f : X \to Y$ induit le morphisme de complexes $f^\# : C^n(Y; G) \to C^n(X; G)$ , $(f^\#\varphi)(\sigma) = \varphi(f \circ \sigma)$ , donc des morphismes $f^* : H^n(Y; G) \to H^n(X; G)$ , avec $(g \circ f)^* = f^* \circ g^*$ et $\mathrm{id}^* = \mathrm{id}$ . Deux espaces homéomorphes ont des cohomologies isomorphes.

(ii) Degré $0$ . $H^0(X; G)$ est le groupe des applications de $X$ dans $G$ constantes sur chaque composante connexe par arcs, c'est-à-dire des applications de l'ensemble $\Pi$ de ces composantes dans $G$ . Pour un point, $H^0 \cong G$ et $H^n = 0$ pour $n \neq 0$ .

(iii) Évaluation. Le morphisme $h : H^n(X; G) \to \operatorname{Hom}\big({H_n}(X), G\big)$ du nœud Complexes de cochaînes, (iii), vérifie $h(f^*\xi) = h(\xi) \circ f_*$ pour toute application continue $f$ .

Démonstration

(i) On a $f^\# = (f_\#)^\#$ , où $f_\#$ est le morphisme de complexes de chaînes du nœud Homologie singulière, (ii) ; on applique Complexes de cochaînes, (i). Un homéomorphisme et sa réciproque induisent des morphismes réciproques l'un de l'autre.

(ii) Comme $C^{-1}(X; G) = 0$ , il n'y a pas de cobord en degré $0$ , et $H^0(X; G)$ est le groupe des cocycles. Une $0$ -cochaîne est une application $\varphi$ de $X$ dans $G$ , un simplexe de dimension $0$ étant un point.

Un simplexe de dimension $1$ est un chemin $\gamma$ , par l'homéomorphisme $s \mapsto (1 - s, s)$ de $[0, 1]$ sur $\Delta_1$ (Degré 0, point) ; la face $\delta_0$ a pour image le sommet $e_1$ , qui correspond à $s = 1$ , et $\delta_1$ le sommet $e_0$ . Ainsi $(\delta\varphi)(\gamma) = \varphi(\gamma(1)) - \varphi(\gamma(0)),$ et $\varphi$ est un cocycle si et seulement si elle prend la même valeur aux deux extrémités de tout chemin, c'est-à-dire si elle est constante sur chaque composante connexe par arcs.

Pour un point, le complexe singulier est $\mathbb Z$ en chaque degré $m \geqslant 0$ , avec $\partial_m = \mathrm{id}$ si $m \geqslant 2$ est pair et $\partial_m = 0$ si $m$ est impair (Degré 0, point, (i)). Le complexe dual est $G$ en chaque degré $n \geqslant 0$ , avec $\delta^n = \partial_{n+1}^*$ égal à $0$ si $n$ est pair et à l'identité si $n$ est impair.

En degré $0$ , on trouve $\operatorname{Ker}\delta^0 = G$ . En degré $n$ impair, $\operatorname{Ker}\delta^n = 0$ ; en degré $n \geqslant 2$ pair, $\operatorname{Ker}\delta^n = G = \operatorname{Im}\delta^{n-1}$ . D'où $H^n = 0$ pour $n \geqslant 1$ .

(iii) C'est le point (iii) du nœud Complexes de cochaînes, appliqué à $f_\#$ .

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Remarque

La cohomologie est duale de l'homologie, et les sommes directes y deviennent des produits. Pour l'espace ${\mathbb N}$ muni de la topologie discrète, dont les composantes connexes par arcs sont les points, $H_0$ est le groupe $\mathbb Z^{(\mathbb N)}$ des suites d'entiers nulles à partir d'un certain rang, qui est dénombrable, alors que $H^0(\mathbb N; \mathbb Z)$ est le groupe de toutes les suites d'entiers, qui ne l'est pas.

Remarque

Une $1$ -cochaîne attribue une valeur à chaque chemin, comme le fait l'intégrale d'une forme différentielle de degré $1$ le long d'un chemin. L'intégrale d'une forme fermée sur les simplexes lisses définit ainsi un cocycle à coefficients réels : c'est le point de départ du théorème de de Rham, qui compare la cohomologie des formes différentielles à la cohomologie singulière.

Repose sur

Complexes de cochaînes et dualité

Sert à

Invariance de la cohomologie par homotopie Petites cochaînes et suite de Mayer-Vietoris Théorème des coefficients universels