Théorème 2Cohomologie singulière

Petites cochaînes et suite de Mayer-Vietoris

Soit $\mathcal U$ un ensemble d'ouverts d'un espace $X$ , de réunion $X$ , et $C^{\mathcal U}(X)$ le complexe des petites chaînes du nœud Petites chaînes. Son dual $C^n_{\mathcal U}(X; G) = \operatorname{Hom}\big(C^{\mathcal U}_n(X), G\big)$ est formé des applications définies sur les seuls simplexes à valeurs dans un élément de $\mathcal U$ , et le transposé $\jmath^\#$ de l'inclusion $\jmath$ est la restriction d'une cochaîne à ces simplexes.

Pour $X = U \cup V$ , avec $U$ et $V$ ouverts, on note $C^n_{U,V}(X; G)$ le groupe obtenu pour $\mathcal U = \{U, V\}$ , et $i, j, k, l$ les inclusions de $U \cap V$ dans $U$ et $V$ , et de $U$ et $V$ dans $X$ ; on ne confondra pas l'inclusion $j$ avec l'inclusion $\jmath$ des petites chaînes, notée sans point. Un simplexe de $U$ s'identifie au simplexe de $X$ à valeurs dans $U$ qu'il définit.

Énoncé

(i) Petites cochaînes. La restriction $\jmath^\#$ induit des isomorphismes de ${H^n}(X; G)$ sur la cohomologie de $C_{\mathcal U}(X; G)$ .

(ii) Mayer-Vietoris. Il existe une suite exacte longue $\begin{aligned} &\cdots \to H^n(X; G) \\ &\xrightarrow{(k^*, l^*)} H^n(U; G) \oplus H^n(V; G) \\ &\xrightarrow{i^* - j^*} H^n(U \cap V; G) \\ &\xrightarrow{\kappa} H^{n+1}(X; G) \to \cdots \end{aligned}$ qui commence par $0 \to H^0(X; G)$ .

Démonstration

(i) Le nœud Petites chaînes fournit un morphisme de complexes $\rho : C(X) \to C^{\mathcal U}(X)$ et un opérateur $D$ tels que $\rho \circ \jmath = \mathrm{id}$ et $\jmath \circ \rho = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$ .

Par transposition (Complexes de cochaînes, (i)), $\jmath^\# \circ \rho^\# = \mathrm{id}$ , et $\rho^\# \circ \jmath^\#$ est homotope à l'identité : $\jmath^\#$ et $\rho^\#$ induisent en cohomologie des isomorphismes réciproques.

(ii) Considérons la suite de complexes de cochaînes $\begin{aligned} 0 &\to C_{U,V}(X; G) \\ &\xrightarrow{(r_U, r_V)} C(U; G) \oplus C(V; G) \\ &\xrightarrow{r - r} C(U \cap V; G) \to 0, \end{aligned}$ où $r_U$ , $r_V$ et $r$ sont les restrictions aux simplexes à valeurs dans $U$ , dans $V$ et dans $U \cap V$ . Ce sont des morphismes de complexes, puisque les faces d'un simplexe à valeurs dans une partie y sont aussi à valeurs.

Elle est exacte en chaque degré. Une application définie sur les simplexes à valeurs dans $U$ ou dans $V$ est déterminée par ses restrictions, d'où l'injectivité. La composée est nulle, les deux restrictions d'une même application aux simplexes de $U \cap V$ étant égales.

Si $(\varphi_U, \varphi_V)$ a une image nulle, $\varphi_U$ et $\varphi_V$ coïncident sur les simplexes à valeurs dans $U \cap V$ , et l'application égale à $\varphi_U$ sur les simplexes de $U$ et à $\varphi_V$ sur ceux de $V$ est bien définie : c'est un antécédent.

Enfin, une cochaîne $\chi$ de $U \cap V$ est l'image de $(\hat\chi, 0)$ , où $\hat\chi$ vaut $\chi$ sur les simplexes à valeurs dans $U \cap V$ et $0$ sur les autres simplexes de $U$ . Ce prolongement par zéro est défini par une règle, sans aucun choix.

Le point (ii) du nœud Complexes de cochaînes donne la suite exacte longue. On remplace la cohomologie de $C_{U,V}(X; G)$ par $H^n(X; G)$ grâce à (i) : comme $r_U \circ \jmath^\# = k^\#$ et $r_V \circ \jmath^\# = l^\#$ , la première flèche devient $(k^*, l^*)$ , où $k^\#$ et $l^\#$ sont les morphismes induits par les inclusions (Cohomologie singulière, (i)).

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Remarque

La suite des cochaînes est exacte pour une raison simple, alors que $\operatorname{Hom}(-, G)$ ne préserve pas l'exactitude en général (remarque du nœud Complexes de cochaînes) : toutes les cochaînes sont des applications quelconques sur des ensembles de simplexes, et une application définie sur une partie se prolonge par zéro. C'est ce qui manquera au théorème des coefficients universels, où les groupes en jeu ne sont plus libres sur des ensembles donnés.

Remarque

Les flèches sont celles de la suite d'homologie du nœud Mayer-Vietoris, renversées : la cohomologie de $X$ s'envoie dans celle des morceaux, puis dans celle de leur intersection, et le morphisme de connexion monte d'un degré.

Repose sur

Cohomologie singulière La suite exacte de Mayer-Vietoris

Sert à

Cohomologie des sphères