Cohomologie des sphères

Le cas $n = 0$. L'image d'un simplexe singulier est connexe par arcs, comme celle de $\Delta_k$, donc réduite à l'un des deux points de $S^0$. Les cochaînes de $S^0$ sont ainsi les couples de cochaînes des deux points, avec le cobord composante par composante, et sa cohomologie est le produit de celles de deux points (Cohomologie singulière, (ii)).

Les ouverts. Pour $n \geqslant 1$, soient $U = S^n \setminus \{N\}$ et $V = S^n \setminus \{S\}$, comme dans la démonstration du nœud Homologie des sphères. Ils sont homéomorphes à ${\mathbb R^n}$ par la projection stéréographique, donc ont la cohomologie d'un point (Invariance par homotopie, (ii)).

La même démonstration établit que l'inclusion de l'équateur, homéomorphe à $S^{n-1}$, dans $U \cap V$ est une équivalence d'homotopie : $U \cap V$ a la cohomologie de $S^{n-1}$. Elle établit aussi que $U \cap V$ a deux composantes connexes par arcs pour $n = 1$, et une seule pour $n \geqslant 2$.

Mayer-Vietoris (Mayer-Vietoris). Pour $k \geqslant 2$, les groupes $H^{k-1}(U) \oplus H^{k-1}(V)$ et $H^k(U) \oplus H^k(V)$ sont nuls, et $\kappa$ est un isomorphisme : $$\begin{aligned} H^{k-1}(S^{n-1}; G) &\cong H^{k-1}(U \cap V; G) \\ &\cong H^k(S^n; G). \end{aligned}$$

En degrés bas, la suite s'écrit $$\begin{aligned} 0 \to H^0(S^n) &\to G \oplus G \\ &\xrightarrow{i^* - j^*} H^0(U \cap V) \\ &\xrightarrow{\kappa} H^1(S^n) \to 0, \end{aligned}$$ puisque $H^1(U) \oplus H^1(V) = 0$. Par le point (ii) du nœud Cohomologie singulière, un élément $(a, b)$ de $G \oplus G$ est un couple de fonctions constantes, et son image est la fonction constante $a - b$ sur $U \cap V$.

Pour $n = 1$, $H^0(U \cap V)$ est formé des couples de valeurs sur les deux composantes, soit $G^2$, et l'image de $i^* - j^*$ est la diagonale $\{(c, c)\}$. Le morphisme $(u, v) \mapsto u - v$ est surjectif de $G^2$ sur $G$, de noyau la diagonale, et $H^1(S^1; G) \cong G$.

Pour $n \geqslant 2$, $H^0(U \cap V) \cong G$ et $i^* - j^*$ est surjectif : $H^1(S^n; G) = 0$.

Dans tous les cas, $S^n$ est connexe par arcs et $H^0(S^n; G) \cong G$. Une récurrence sur $n$, au moyen de l'isomorphisme $H^k(S^n) \cong H^{k-1}(S^{n-1})$ pour $k \geqslant 2$, conclut.