Invariance de la cohomologie par homotopie

(i) La démonstration du nœud Invariance par homotopie construit, à partir d'une homotopie de $f$ à $g$, l'opérateur prisme $P : C_n(X) \to C_{n+1}(Y)$, qui vérifie $\partial P + P\partial = g_\# - f_\#$. Par le point (i) du nœud Complexes de cochaînes, $f^\# = (f_\#)^\#$ et $g^\# = (g_\#)^\#$ induisent le même morphisme en cohomologie.

(ii) Si $g \circ f$ et $f \circ g$ sont homotopes aux identités, $f^* \circ g^*$ et $g^* \circ f^*$ sont les identités, par (i) et par la fonctorialité (Cohomologie singulière, (i)).

Une partie étoilée par rapport à $a$ se contracte sur $a$ (Invariance par homotopie, (ii)) : l'inclusion du point $a$ est une équivalence d'homotopie, et l'on conclut par le point (ii) du nœud Cohomologie singulière.