ChapitreHomologie

Produit cup

Le produit cup, défini sur les cochaînes par la face avant et la face arrière d'un simplexe, vérifie une formule de Leibniz et fait de la cohomologie un anneau, invariant plus fin que la suite de ses groupes. L'anneau d'une sphère est le plus simple possible : tout produit de classes de degré positif y est nul.

Celui de l'espace projectif $\mathbb RP^n$ à coefficients dans $\mathbb Z/2\mathbb Z$ est $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[X]/(X^{n+1})$. On l'obtient sans homologie cellulaire, par la suite exacte du revêtement double $S^n \to \mathbb RP^n$, scindée degré par degré, comme suite de groupes (non de complexes), par une règle explicite, dont le morphisme de connexion est le produit par la classe de degré $1$, et par Mayer-Vietoris, qui arrête la cohomologie au degré $n$. Il en découle le théorème de Borsuk-Ulam : toute application continue de $S^n$ dans $\mathbb R^n$ prend la même valeur en deux points opposés. Aucune forme du choix n'intervient.