L'anneau de cohomologie de ℝPⁿ modulo 2

(i) Suivons la définition de $\kappa$ (Complexes de cochaînes, (ii)). La cochaîne $y$ de $S^n$ égale à $x(q \circ \rho)$ sur les simplexes $\rho$ de premier sommet positif, et à $0$ sur les autres, vérifie $\tau^\#y = x$ (Revêtement double, preuve de (ii)).

Soit $\rho$ un simplexe de $S^n$ de dimension $k + 1$, et $\varepsilon$, $\varepsilon'$ les éléments de $\mathbb F_2$ qui valent $1$ si $\rho(e_0)$, respectivement $\rho(e_1)$, est positif, et $0$ sinon. Pour $i \geqslant 1$, la face $\rho \circ \delta_i$ a pour premier sommet $\rho(e_0)$ ; la face $\rho \circ \delta_0$ a pour premier sommet $\rho(e_1)$. Donc, modulo $2$, $$(\delta y)(\rho) = \varepsilon \sum_{i \geqslant 1} x(q\rho \circ \delta_i) + \varepsilon'\, x(q\rho \circ \delta_0).$$

Comme $x$ est un cocycle, $\sum_{i=0}^{k+1} x(q\rho \circ \delta_i) = (\delta x)(q \circ \rho) = 0$, et la première somme vaut $x(q\rho \circ \delta_0)$. Il vient $$(\delta y)(\rho) = (\varepsilon + \varepsilon')\, x(q\rho \circ \delta_0).$$

Or $\varepsilon + \varepsilon' = 1$ exactement quand l'un seul des sommets $\rho(e_0)$, $\rho(e_1)$ est positif, c'est-à-dire quand $w$ vaut $1$ sur l'arête $(q \circ \rho)|[0, 1]$, dont $\rho|[0, 1]$ est un relèvement ; et $q\rho \circ \delta_0 = (q \circ \rho)|[1, \dots, k + 1]$ est la face arrière. Ainsi $$(\delta y)(\rho) = (w \smile x)(q \circ \rho),$$ c'est-à-dire $\delta y = q^\#(w \smile x)$, et, par définition, $\kappa[x] = [w \smile x]$.

Pour $x = 1$, cocycle de degré $0$, on trouve $\delta y = q^\#w$ ; alors $q^\#(\delta w) = \delta\delta y = 0$, et $\delta w = 0$ par injectivité de $q^\#$. Donc $\alpha = [w] = \kappa[1]$, et $\kappa(\xi) = \alpha \smile \xi$ par définition du produit des classes (Produit cup, (iii)).

(ii) On lit la suite exacte longue du nœud Revêtement double, en sachant que $H^k(S^n; \mathbb F_2)$ vaut $\mathbb F_2$ pour $k \in \{0, n\}$ et $0$ sinon (Cohomologie des sphères), et que $H^k(\mathbb RP^n; \mathbb F_2) = 0$ pour $k > n$ (ℝPⁿ au-delà de n).

Degré $0$. $H^0(\mathbb RP^n; \mathbb F_2) = \{0, [1]\}$ et $H^0(S^n; \mathbb F_2) = \{0, [1]\}$, les deux espaces étant connexes par arcs, et $q^*[1] = [1] \neq 0$ : $q^*$ est bijectif en degré $0$. Par exactitude, $\tau^* = 0$ sur $H^0(S^n)$, et $\kappa : H^0(\mathbb RP^n) \to H^1(\mathbb RP^n)$ est injectif.

Degrés intermédiaires. Pour $1 \leqslant k \leqslant n - 1$, $H^k(S^n) = 0$, donc $\tau^* = 0$ sur $H^k(S^n)$ et $\kappa$ est injectif sur $H^k(\mathbb RP^n)$. Pour $0 \leqslant k \leqslant n - 2$, $H^{k+1}(S^n) = 0$, donc $q^* = 0$ en degré $k + 1$ et $\kappa : H^k(\mathbb RP^n) \to H^{k+1}(\mathbb RP^n)$ est surjectif. Ainsi $\kappa$ est bijectif de $H^k$ sur $H^{k+1}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n - 2$, et injectif de $H^{n-1}$ dans $H^n$.

Par récurrence, $\kappa^k$ est bijectif de $H^0 = \{0, [1]\}$ sur $H^k$ pour $0 \leqslant k \leqslant n - 1$ : chacun de ces groupes a deux éléments, en particulier $H^{n-1}$.

Degré $n$. Le segment $H^n(S^n) \xrightarrow{\tau^*} H^n(\mathbb RP^n) \xrightarrow{\kappa} H^{n+1}(\mathbb RP^n) = 0$ montre que $\tau^*$ est surjectif, et $H^n(\mathbb RP^n)$ a au plus deux éléments. Il contient l'image de $H^{n-1}$ par $\kappa$, injectif, qui en a deux : $\kappa$ est aussi bijectif de $H^{n-1}$ sur $H^n$.

Ainsi $\kappa^k$ est bijectif de $H^0$ sur $H^k$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$, et, par (i) et l'associativité, $\kappa^k[1] = \alpha \smile \kappa^{k-1}[1] = \alpha^k$. Donc $H^k(\mathbb RP^n; \mathbb F_2) = \{0, \alpha^k\}$, avec $\alpha^k \neq 0$, et $\alpha^{n+1} \in H^{n+1} = 0$.

Les puissances de $\alpha$ commutant entre elles, $P \mapsto P(\alpha)$ est un morphisme d'anneaux de $\mathbb F_2[X]$ dans $H^*(\mathbb RP^n; \mathbb F_2)$. Il est surjectif, et $\sum_k c_k\alpha^k = 0$ si et seulement si $c_k = 0$ pour $k \leqslant n$, puisque les $\alpha^k$ sont de degrés distincts et non nuls : le noyau est l'idéal $X^{n+1}\mathbb F_2[X]$, et l'on conclut par le théorème d'isomorphisme (Anneau quotient).