ChapitreHomologie

Homologie cellulaire

Un complexe cellulaire fini est un espace obtenu en recollant successivement des boules de dimensions croissantes le long de leurs bords. Son homologie se calcule par un complexe dont le groupe de degré $n$ est libre de base les cellules de dimension $n$, et dont le bord se lit sur les applications d'attachement : le calcul devient fini. Le chapitre construit d'abord les outils qui manquaient, l'homologie relative d'une paire et sa suite exacte, l'excision, déduite du théorème des petites chaînes, et l'isomorphisme $H_n(X, A) \cong \tilde H_n(X/A)$ pour une paire de bon type, puis le degré d'une application de la sphère dans elle-même, qui donne au passage le théorème de la boule chevelue pour les champs continus.

Il calcule ensuite l'homologie du tore, $\mathbb Z$, $\mathbb Z^2$, $\mathbb Z$, celle de la surface de genre $g$, polygone à $4g$ côtés recollé, $\mathbb Z$, $\mathbb Z^{2g}$, $\mathbb Z$, et celle de l'espace projectif $\mathbb RP^n$, où le bord cellulaire vaut $1 + (-1)^k$ : la torsion $\mathbb Z/2\mathbb Z$ apparaît en degrés impairs. La caractéristique d'Euler-Poincaré, somme alternée des nombres de cellules, ne dépend pas de la décomposition ; on le montre par un comptage modulo $2$, sans la notion de rang. Aucune forme du choix n'intervient. La cohomologie cellulaire et la formule générale du bord par les degrés sont présentées en remarque, et admises.