Paires de bon type et quotient X/A

(i) Séparation. Soient $x \neq y$ deux points hors de $A$, et $U$, $V$ des ouverts disjoints qui les contiennent. Les ouverts $U \setminus A$ et $V \setminus A$ sont saturés, c'est-à-dire réunions de classes ; leurs images par $q$ sont donc des ouverts, disjoints, qui contiennent $q(x)$ et $q(y)$.

Soit maintenant $x \notin A$. La preuve du point (ii) du nœud Parties compactes fournit un ouvert $V$ contenant $x$ et un ouvert $U$ contenant le compact $A$, disjoints. Tous deux sont saturés, et $q(V)$, $q(U)$ sont des ouverts disjoints qui contiennent $q(x)$ et $*$.

Compacité. $X/A = q(X)$ est l'image du compact $X$ par une application continue à valeurs dans un séparé (Parties compactes, (iii)).

L'homéomorphisme. L'ensemble $X/A \setminus \{*\}$ est ouvert, puisque son image réciproque $X \setminus A$ l'est, et $q$ en est une bijection continue depuis $X \setminus A$. Un ouvert de $X \setminus A$ est ouvert dans $X$ et saturé, de sorte que son image est ouverte : cette bijection est ouverte.

(ii) Soit $H : N \times I \to N$ une déformation de $N$ sur $A$, et $r = H(\cdot, 1)$. On a $r \circ \iota = \mathrm{id}_A$, où $\iota$ est l'inclusion, et $\iota \circ r$ est homotope à l'identité de $N$ par $H$ : l'inclusion est une équivalence d'homotopie, et induit des isomorphismes $H_n(A) \to H_n(N)$ (Invariance par homotopie, (ii)).

L'identité de $X$ est une application de paires $(X, A) \to (X, N)$. Par Homologie relative, (ii), elle relie les deux suites exactes par un diagramme commutatif : $$\begin{CD} H_n(A) @>>> H_n(N) \\ @VVV @VVV \\ H_n(X) @>{=}>> H_n(X) \\ @VVV @VVV \\ H_n(X, A) @>>> H_n(X, N) \\ @VVV @VVV \\ H_{n-1}(A) @>>> H_{n-1}(N) \\ @VVV @VVV \\ H_{n-1}(X) @>{=}>> H_{n-1}(X) \end{CD}$$ Les quatre autres flèches horizontales sont des isomorphismes, et le lemme des cinq (Lemme des cinq) conclut. Le second isomorphisme est l'excision (Excision, (iii)), appliquée à $Z = A$ dans la paire $(X, N)$ : $A$ est fermée et contenue dans l'intérieur de $N$.

(iii) Dans le quotient. Notons $X' = X/A$ et $N' = q(N)$, compact donc fermé, qui contient $*$. L'intérieur de $N'$ contient $q(\mathring N)$, ouvert puisque $\mathring N$ est un ouvert saturé, qui contient $A$.

L'application $H'(q(x), t) = q(H(x, t))$ est bien définie, puisque $H(a, t) = a$ pour $a \in A$. Elle est continue, car $H' \circ (q \times \mathrm{id}) = q \circ H$ l'est, et que $q$ envoie continûment le compact $N$ sur le séparé $N'$ (Recollement de compacts, (iii)). C'est une déformation de $N'$ sur $\{*\}$ : la paire $(X', \{*\})$ est de bon type, et (ii) s'y applique.

Le diagramme. Posons $\dot X = X \setminus A$, $\dot N = N \setminus A$, $\dot X' = X' \setminus \{*\}$ et $\dot N' = N' \setminus \{*\}$. Les applications de paires induites par $q$ et les inclusions donnent le diagramme commutatif $$\begin{CD} H_n(X, A) @>{q_*}>> H_n(X', *) \\ @VVV @VVV \\ H_n(X, N) @>{q_*}>> H_n(X', N') \\ @AAA @AAA \\ H_n(\dot X, \dot N) @>{q_*}>> H_n(\dot X', \dot N') \end{CD}$$ dont les flèches verticales sont des isomorphismes, par (ii) appliqué aux deux paires. La flèche du bas en est un, puisque $q$ induit un homéomorphisme de $\dot X$ sur $\dot X'$, par (i), qui envoie $\dot N$ sur $\dot N'$. Les deux autres flèches horizontales sont donc des isomorphismes.

Homologie réduite. L'homologie réduite du point $*$ est nulle (Homologie réduite, (iii)), et la suite réduite de la paire $(X', \{*\})$ (Homologie relative, (iv)) montre que $\tilde H_n(X') \to H_n(X', \{*\})$ est un isomorphisme.