Lemme 1Homologie cellulaire

Espaces recouverts par un nombre fini d'images de compacts

Dans ce chapitre, un espace compact est séparé, comme au nœud Parties compactes, et $I = [0, 1]$ . On considère un espace séparé $Y$ et un nombre fini d'applications continues $f_i : K_i \to Y$ , pour $1 \leqslant i \leqslant m$ , définies sur des espaces compacts et telles que $Y = \bigcup_i f_i(K_i)$ .

Énoncé

(i) L'espace $Y$ est compact, et une partie $F$ de $Y$ est fermée si et seulement si chaque $f_i^{-1}(F)$ est fermée dans $K_i$ .

(ii) Une application $G : Y \to Z$ , à valeurs dans un espace topologique quelconque, est continue si et seulement si chacune des composées $G \circ f_i$ l'est.

(iii) Les applications $f_i \times \mathrm{id} : K_i \times I \to Y \times I$ vérifient les mêmes hypothèses. En particulier, une application $G : Y \times I \to Z$ est continue si et seulement si chacune des composées $G \circ (f_i \times \mathrm{id})$ l'est.

Démonstration

(i) Chaque $f_i(K_i)$ est compact (Parties compactes, (iii)). Un recouvrement ouvert de $Y$ induit un recouvrement de chacun d'eux, dont on extrait un sous-recouvrement fini ; la réunion de ces $m$ familles finies recouvre $Y$ , qui est donc compact.

Si $F$ est fermée, chaque $f_i^{-1}(F)$ l'est, par continuité. Réciproquement, supposons chaque $f_i^{-1}(F)$ fermée. C'est une partie compacte de $K_i$ (même nœud, (i)), et son image $f_i(f_i^{-1}(F))$ est compacte, donc fermée dans le séparé $Y$ (même nœud, (ii)). Comme tout point de $F$ s'écrit $f_i(k)$ , pour un indice $i$ et un point $k \in f_i^{-1}(F)$ , on a $F = \bigcup_{i=1}^m f_i\big(f_i^{-1}(F)\big),$ réunion finie de fermés.

(ii) Si $G$ est continue, les composées le sont. Réciproquement, pour un fermé $C$ de $Z$ , la partie $f_i^{-1}(G^{-1}(C)) = (G \circ f_i)^{-1}(C)$ est fermée dans $K_i$ pour chaque $i$ , et $G^{-1}(C)$ est fermée par (i).

(iii) Les produits $K_i \times I$ sont compacts (Produit fini de compacts), $Y \times I$ est séparé par l'argument du même nœud, et les images des $f_i \times \mathrm{id}$ recouvrent $Y \times I$ . On applique (ii).

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Remarque

C'est la forme que prend ici la topologie faible des complexes cellulaires : pour vérifier qu'une application, ou une homotopie, est continue sur un espace obtenu par recollement, il suffit de la composer avec chacune des applications qui paramètrent les morceaux. L'argument de l'application fermée du nœud Ouverts du tore, qui transportait les ouverts du carré au tore, en est un cas particulier.

Remarque

La finitude est indispensable. La partie $Y = \{0\} \cup \{\frac1k : k \geqslant 1\}$ de $\mathbb R$ est la réunion des images d'une infinité d'applications définies sur un point, l'une de valeur $0$ , les autres de valeurs $\frac1k$ . La partie $\{\frac1k : k \geqslant 1\}$ a des images réciproques toutes fermées, puisque ce sont des points ou l'ensemble vide, et elle n'est pourtant pas fermée dans $Y$ , le point $0$ lui étant adhérent.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Paires de bon type et quotient X/A Complexes cellulaires finis