Définition 3Homologie cellulaire

Complexes cellulaires finis

Soit $X$ un espace séparé, $Y$ une partie fermée de $X$ et $n \geqslant 0$ . On dit que $X$ s'obtient à partir de $Y$ par attachement de cellules de dimension $n$ s'il existe un ensemble fini $J$ et des applications continues $\Phi_j : D^n \to X$ , pour $j \in J$ , telles que $\Phi_j(S^{n-1}) \subset Y$ , que $\Phi_j$ soit injective sur la boule ouverte $B^n$ , et que $X \setminus Y$ soit la réunion des cellules ouvertes $e_j = \Phi_j(B^n)$ , deux à deux disjointes.

Les $\Phi_j$ sont les applications caractéristiques, et leurs restrictions $\varphi_j = \Phi_j|_{S^{n-1}} : S^{n-1} \to Y$ les applications d'attachement. Pour $n = 0$ , $D^0$ est un point et $S^{-1}$ est vide : on ajoute à $Y$ un nombre fini de points.

Un complexe cellulaire fini est un espace séparé $X$ muni d'une suite finie de parties fermées $\varnothing = X^{-1} \subset X^0 \subset X^1 \subset \cdots \subset X^N = X$ et, pour chaque $n \in \{0, \dots, N\}$ , d'une famille finie d'applications caractéristiques par lesquelles $X^n$ s'obtient à partir de $X^{n-1}$ par attachement de cellules de dimension $n$ . La partie $X^n$ est le squelette de dimension $n$ , les $e_j$ sont les cellules de dimension $n$ , et l'on note $c_n$ leur nombre ; on pose $X^n = X$ pour $n \geqslant N$ .

Énoncé

(i) Si $X$ s'obtient à partir d'un compact $Y$ par attachement de cellules, $X$ est compact. Une partie $F$ de $X$ est fermée si et seulement si $F \cap Y$ est fermée dans $Y$ et chaque $\Phi_j^{-1}(F)$ fermée dans $D^n$ . Une application $G : X \to Z$ est continue si et seulement si sa restriction à $Y$ et ses composées avec les $\Phi_j$ le sont ; de même pour une homotopie $G : X \times I \to Z$ , avec $Y \times I$ et les $\Phi_j \times \mathrm{id}$ .

(ii) Sous les mêmes hypothèses, chaque cellule $e_j$ est ouverte dans $X$ , et $\Phi_j$ induit un homéomorphisme de $B^n$ sur $e_j$ .

(iii) Un complexe cellulaire fini et tous ses squelettes sont compacts, et le squelette $X^0$ est un ensemble fini muni de la topologie discrète.

Démonstration

(i) On applique le nœud Recollement de compacts à l'inclusion de $Y$ et aux $\Phi_j$ , dont les images recouvrent $X$ , puisque tout point de $X \setminus Y$ appartient à une cellule $e_j \subset \Phi_j(D^n)$ .

(ii) Soit $W$ un ouvert de $B^n$ . Montrons que le complémentaire de $\Phi_j(W)$ dans $X$ est $Y \cup \bigcup_{i \neq j} \Phi_i(D^n) \cup \Phi_j(D^n \setminus W).$ Un point hors de $Y$ appartient à une seule cellule $e_i$ . Si $i \neq j$ , il est dans $\Phi_i(D^n)$ , et non dans $\Phi_j(W) \subset e_j$ . Si $i = j$ , il s'écrit $\Phi_j(z)$ pour un unique $z \in B^n$ , par injectivité, et il est hors de $\Phi_j(W)$ si et seulement si $z \notin W$ .

Réciproquement, $Y$ et les $\Phi_i(D^n) \subset e_i \cup Y$ , pour $i \neq j$ , ne rencontrent pas $e_j$ . Un point $\Phi_j(z)$ avec $z \notin W$ est dans $Y$ si $\|z\| = 1$ , et hors de $\Phi_j(W)$ par injectivité si $z \in B^n$ .

Ces parties sont compactes, $D^n \setminus W$ étant fermée dans $D^n$ , donc fermées dans le séparé $X$ , et $\Phi_j(W)$ est ouvert. Pour $W = B^n$ , on obtient que $e_j$ est ouverte ; et $\Phi_j$ est une bijection continue et ouverte de $B^n$ sur $e_j$ .

(iii) Par récurrence sur $n$ , avec (i), à partir de $X^{-1} = \varnothing$ . Le squelette $X^0$ est formé d'un nombre fini de points ; dans le séparé $X^0$ , toute partie est une réunion finie de points, donc fermée, et toute partie est aussi ouverte.

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Remarque

Les complexes cellulaires ont été introduits par J. H. C. Whitehead (« Combinatorial homotopy I », Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1949, p. 213-245), pour un nombre quelconque de cellules. Leur nom anglais, CW-complexes, vient des deux conditions qu'il faut alors imposer : C, pour closure finite, l'adhérence de chaque cellule ne rencontre qu'un nombre fini de cellules ; W, pour weak topology, une partie est fermée dès que ses traces sur les cellules fermées le sont. Pour un nombre fini de cellules, la première est automatique et la seconde est le point (i) : c'est pour éviter ces difficultés que le chapitre s'en tient aux complexes finis.

Remarque

Sans la topologie faible, une décomposition en cellules ne suffit pas. Le segment $[0, 1]$ , découpé par les points $0$ et $\frac1k$ , $k \geqslant 1$ , en une infinité de segments $[\frac1{k+1}, \frac1k]$ , a des cellules convenables. Mais la partie formée des milieux de ces segments rencontre chaque segment fermé en un point au plus, et elle n'est pourtant pas fermée dans $[0, 1]$ , puisque $0$ lui est adhérent : la topologie de $[0, 1]$ n'est pas la topologie faible de cette décomposition.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que l'application caractéristique est injective : elle ne l'est que sur la boule ouverte. Pour la sphère $S^n$ , formée d'un point et d'une cellule de dimension $n$ (Exemples), elle envoie tout le bord $S^{n-1}$ sur ce point.

Remarque

Les applications caractéristiques font partie des données : un complexe cellulaire est un espace muni de ses squelettes et de ses cellules, et aucun choix n'intervient dans ce qui suit. Un même espace porte en général bien des structures, ce que le nœud Euler-Poincaré mettra à profit.

Repose sur

Espaces recouverts par un nombre fini d'images de compacts

Sert à

Construction par attachement de cellules Homologie relative d'un attachement de cellules