Homologie relative d'un attachement de cellules

Notons $\mathbf D = J \times D^n$ et $\mathbf S = J \times S^{n-1}$, où $J$ porte la topologie discrète ; $\mathbf D$ est la réunion des ouverts disjoints $\{j\} \times D^n$, et, par Paire du disque, (i) et (ii), $H_k(\mathbf D, \mathbf S)$ est la somme directe des $H_k(D^n, S^{n-1})$, nulle pour $k \neq n$, libre de base les images des $\iota_n$ pour $k = n$. Ces images sont envoyées par $\Phi_*$ sur les $\Phi_{j*}(\iota_n)$ : il suffit de montrer que $\Phi_*$ est un isomorphisme.

Le cas $n = 0$. Les points $e_j = \Phi_j(D^0)$ sont ouverts dans $X$ (Complexes cellulaires, (ii)), et $Y$, complémentaire d'un ensemble fini, est ouvert. Par Paire du disque, (i), $H_k(X, Y)$ est la somme de $H_k(Y, Y) = 0$ et des $H_k(\{e_j\})$, et $\Phi_*$ est un isomorphisme.

Une collerette. Soit $n \geqslant 1$. Si $Y$ est vide, $J$ l'est aussi, puisque $\Phi_j(S^{n-1}) \subset Y$ et que $S^{n-1}$ n'est pas vide ; alors $X$ est vide et il n'y a rien à démontrer. Si $J$ est vide, $X = Y$, et les deux membres sont nuls. On suppose donc $Y$ et $J$ non vides, de sorte que $\mathbf S$ l'est aussi. Soit $K = \{z \in D^n : \frac12 \leqslant \|z\| \leqslant 1\}$ et $$N = Y \cup \bigcup_{j \in J} \Phi_j(K),$$ compact comme réunion finie de compacts, donc fermé. La partie $O = X \setminus \bigcup_j \Phi_j\big(\{\|z\| \leqslant \frac12\}\big)$ est ouverte, comme complémentaire d'une réunion finie de compacts. Elle contient $Y$, et elle est contenue dans $N$ : un point de $O \setminus Y$ s'écrit $\Phi_j(z)$ pour un seul couple $(j, z)$ avec $z \in B^n$, et alors $\|z\| > \frac12$. L'intérieur de $N$ contient donc $Y$.

La déformation. Posons $H(y, t) = y$ pour $y \in Y$, et $$H(\Phi_j(z), t) = \Phi_j\Big((1 - t)z + t\,\frac{z}{\|z\|}\Big)$$ pour $z \in K$. Un point de $N \setminus Y$ s'écrit $\Phi_j(z)$ pour un seul couple, avec $z \in K \cap B^n$, et, pour $z \in S^{n-1}$, la formule redonne $\Phi_j(z)$ : $H$ est bien définie. La norme de $(1 - t)z + t\frac{z}{\|z\|}$ vaut $(1 - t)\|z\| + t$, comprise entre $\|z\|$ et $1$, de sorte que $H$ est à valeurs dans $N$.

Elle est continue par le nœud Recollement de compacts, (iii), $N$ étant recouvert par $Y$ et les $\Phi_j(K)$, et les composées étant continues. Enfin $H(x, 0) = x$, $H(x, 1) \in Y$, et $H(y, t) = y$ sur $Y$ : la paire $(X, Y)$ est de bon type, avec ce voisinage $N$.

Le diagramme. La paire $(\mathbf D, \mathbf S)$ est le cas particulier où $\Phi_j(z) = (j, z)$, et son voisinage est $\mathbf K = J \times K$. Notons $\mathbf B = J \times B^n$ et $\mathbf K^\circ = J \times (K \cap B^n)$. L'application $\Phi$ envoie $\mathbf K$ dans $N$, et ses restrictions donnent le diagramme commutatif $$\begin{CD} H_k(\mathbf D, \mathbf S) @>{\Phi_*}>> H_k(X, Y) \\ @VVV @VVV \\ H_k(\mathbf D, \mathbf K) @>{\Phi_*}>> H_k(X, N) \\ @AAA @AAA \\ H_k(\mathbf B, \mathbf K^\circ) @>{\Phi_*}>> H_k(X \setminus Y, N \setminus Y) \end{CD}$$ dont les flèches verticales sont des isomorphismes (Paires de bon type, (ii)).

Par Complexes cellulaires, (ii), chaque $\Phi_j$ induit un homéomorphisme de $B^n$ sur la cellule ouverte $e_j$ ; les $e_j$ étant des ouverts disjoints de réunion $X \setminus Y$, $\Phi$ induit un homéomorphisme de $\mathbf B$ sur $X \setminus Y$, qui envoie $\mathbf K^\circ$ sur $N \setminus Y$. La flèche du bas est donc un isomorphisme, et celle du haut aussi.