Théorème 3Homologie cellulaire

Le complexe cellulaire calcule l'homologie

Soit $X$ un complexe cellulaire fini. Son complexe cellulaire $C^{\mathrm{cell}}(X)$ a pour groupes $C^{\mathrm{cell}}_n(X) = {H_n}(X^n, X^{n-1})$ , nuls pour $n < 0$ , et pour bord la composée $d_n = j_{n-1} \circ \partial_n,$ où $\partial_n : H_n(X^n, X^{n-1}) \to H_{n-1}(X^{n-1})$ est le morphisme de connexion de la paire $(X^n, X^{n-1})$ et $j_{n-1} : H_{n-1}(X^{n-1}) \to H_{n-1}(X^{n-1}, X^{n-2})$ le morphisme induit par l'inclusion (Homologie relative, (i)).

On a $d_{n-1} \circ d_n = j_{n-2} \circ (\partial_{n-1} \circ j_{n-1}) \circ \partial_n = 0$ , puisque $\partial_{n-1} \circ j_{n-1}$ est la composée de deux flèches consécutives de la suite exacte de la paire $(X^{n-1}, X^{n-2})$ . L'homologie cellulaire $H^{\mathrm{cell}}_n(X)$ est l'homologie de ce complexe.

Dans la base $(e_\alpha)$ du nœud Squelettes, (i), la naturalité du morphisme de connexion pour l'application de paires $\Phi_\alpha : (D^n, S^{n-1}) \to (X^n, X^{n-1})$ donne $d_n(e_\alpha) = j_{n-1}\big(\varphi_{\alpha*}(\partial\iota_n)\big),$ où $\varphi_\alpha$ est l'application d'attachement de la cellule.

Énoncé

(i) Le morphisme $j_n : H_n(X^n) \to H_n(X^n, X^{n-1})$ est injectif, d'image $\operatorname{Ker} d_n$ , et il induit, avec l'inclusion de $X^n$ dans $X$ , un isomorphisme $H^{\mathrm{cell}}_n(X) \cong {H_n}(X).$

(ii) Chaque groupe $C^{\mathrm{cell}}_n(X)$ est isomorphe à $\mathbb Z^{c_n}$ . Si $X$ n'a de cellule ni en dimension $n - 1$ ni en dimension $n + 1$ , alors $H_n(X) \cong \mathbb Z^{c_n}$ .

Démonstration

(i) Injectivité. Dans la suite exacte de la paire $(X^n, X^{n-1})$ , $j_n$ est précédé de $H_n(X^{n-1})$ , nul par Squelettes, (ii) : il est injectif, et son image est le noyau de $\partial_n$ . De même $j_{n-1}$ est injectif, de sorte que $\operatorname{Ker} d_n = \operatorname{Ker} \partial_n = \operatorname{Im} j_n.$

Les bords. L'image de $d_{n+1} = j_n \circ \partial_{n+1}$ est $j_n(\operatorname{Im}\partial_{n+1})$ . L'isomorphisme $j_n$ de $H_n(X^n)$ sur $\operatorname{Ker} d_n$ induit donc un isomorphisme $\begin{aligned} &H_n(X^n)/\operatorname{Im}\partial_{n+1} \\ &\quad \cong \operatorname{Ker} d_n/\operatorname{Im} d_{n+1} = H^{\mathrm{cell}}_n(X). \end{aligned}$

Le squelette suivant. Dans la suite exacte de la paire $(X^{n+1}, X^n)$ , $\begin{aligned} H_{n+1}(X^{n+1}, X^n) &\xrightarrow{\partial_{n+1}} H_n(X^n) \\ &\to H_n(X^{n+1}) \\ &\to H_n(X^{n+1}, X^n) = 0, \end{aligned}$ l'inclusion induit un isomorphisme de $H_n(X^n)/\operatorname{Im}\partial_{n+1}$ sur $H_n(X^{n+1})$ (Théorème d'isomorphisme), et $H_n(X^{n+1}) \to H_n(X)$ est un isomorphisme (Squelettes, (iii)). On compose ces trois isomorphismes.

(ii) Le premier point est Squelettes, (i). S'il n'y a pas de cellule en dimension $n - 1$ ni $n + 1$ , les groupes $C^{\mathrm{cell}}_{n-1}$ et $C^{\mathrm{cell}}_{n+1}$ sont nuls, $d_n = 0$ et $d_{n+1} = 0$ , et $H^{\mathrm{cell}}_n(X) = C^{\mathrm{cell}}_n(X)$ .

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Remarque

Le complexe cellulaire remplace le groupe gigantesque $C_n(X)$ , libre sur tous les simplexes singuliers, par un groupe libre de rang $c_n$ , le nombre de cellules. Le calcul de l'homologie d'un complexe cellulaire fini devient un calcul fini sur des matrices d'entiers, dont la forme normale de Smith, établie pour les modules de type fini sur un anneau principal hors de l'amont de cette théorie, donne directement les groupes ; c'est par elle que les exemples de ce chapitre ont été vérifiés.

Remarque

L'isomorphisme de (i) est canonique ; seule la base $(e_\alpha)$ dépend des générateurs $\iota_n$ . Remplacer $\iota_n$ par $-\iota_n$ change le signe de tous les $e_\alpha$ de dimension $n$ , donc des colonnes de la matrice de $d_n$ et des lignes de celle de $d_{n+1}$ , sans changer l'homologie. Aucun choix n'intervient.

Remarque

Dualement, la cohomologie du complexe $\operatorname{Hom}(C^{\mathrm{cell}}(X), G)$ est isomorphe à la cohomologie singulière $H^n(X; G)$ , celle du dual $\operatorname{Hom}(C(X), G)$ du complexe singulier, que le chapitre voisin Cohomologie singulière étudie ; c'est la cohomologie cellulaire, admise ici. La difficulté contournée est double : il faut reprendre en cohomologie l'excision et l'homologie des squelettes, ce qui se fait par transposition, comme le fait ce chapitre voisin pour l'invariance par homotopie et la suite de Mayer-Vietoris, puis identifier $H^n(X^n, X^{n-1}; G)$ à $\operatorname{Hom}(H_n(X^n, X^{n-1}), G)$ de façon compatible avec les morphismes de connexion. Le raccourci par le théorème des coefficients universels n'est pas disponible sans choix pour le complexe singulier (Coefficients universels, (ii)).

Repose sur

Homologie des squelettes

Sert à

Calcul du bord cellulaire Caractéristique d'Euler-Poincaré