Caractéristique d'Euler-Poincaré

(i) Les classes $x + H$ forment une partition de $G$ (Sous-groupe distingué), et chacune est en bijection avec $H$ par $h \mapsto x + h$. Pour un ensemble fini $E$, la fonction $A \mapsto |A|$ sur les parties de $E$ vérifie la relation qui caractérise $A \mapsto \sum_{e \in A} 1$, puisque $|A \cup \{e\}| = |A| + 1$ pour $e \notin A$ (Ensembles finis, preuve de (iii)) ; donc $|E| = \sum_{e \in E} 1$ (Sommes finies, (i)). L'associativité généralisée (même nœud, (iii)) donne alors $$\begin{aligned} |G| &= \sum_{x + H \in G/H} |x + H| \\ &= \sum_{c \in G/H} |H| = |G/H| \cdot |H|, \end{aligned}$$ la dernière égalité étant la somme d'une constante sur un ensemble à $|G/H|$ éléments.

(ii) Notons $Z_k$ et $B_k$ les cycles et les bords, avec $B_{-1} = 0$ et $B_N = 0$. Le bord induit un isomorphisme $C_k/Z_k \cong B_{k-1}$ (Théorème d'isomorphisme), et $H_k = Z_k/B_k$. Par (i), $|C_k| = |Z_k|\,|B_{k-1}|$ et $|Z_k| = |B_k|\,|H_k|$, d'où $$\begin{aligned} \prod_k |C_k|^{(-1)^k} &= \prod_k |H_k|^{(-1)^k} \\ &\quad \times \prod_k \big(|B_k|\,|B_{k-1}|\big)^{(-1)^k}. \end{aligned}$$ Dans le dernier produit, chaque $|B_k|$ apparaît avec les exposants $(-1)^k$ et $(-1)^{k+1}$, de somme nulle : il vaut $1$.

(iii) La multiplication par $2$ est un morphisme de complexes injectif de $C$ dans lui-même, puisque $\mathbb Z^{c_k}$ n'a pas d'élément non nul d'ordre $2$ ; son conoyau est le complexe $C/2C$, de groupes $C_k/2C_k$ à $2^{c_k}$ éléments (Homologie réduite, preuve de (ii)). La suite exacte longue (Suite exacte longue) de $0 \to C \xrightarrow{2} C \to C/2C \to 0$ contient $$\begin{aligned} H_k(C) &\xrightarrow{2} H_k(C) \to H_k(C/2C) \\ &\to H_{k-1}(C) \xrightarrow{2} H_{k-1}(C), \end{aligned}$$ d'où une suite exacte courte $$\begin{aligned} 0 \to H_k(C)/2H_k(C) &\to H_k(C/2C) \\ &\to H_{k-1}(C)[2] \to 0. \end{aligned}$$

Le groupe $H_k(C/2C)$ est fini, comme quotient d'un sous-groupe du groupe fini $C_k/2C_k$ ; les deux autres le sont donc, et $|H_k(C/2C)| = |H_k(C)/2H_k(C)| \cdot |H_{k-1}(C)[2]|$ par (i). On applique (ii) à $C/2C$ : le membre de gauche vaut $2^{\sum_k (-1)^kc_k}$. Dans le membre de droite, chaque $|H_k(C)[2]|$, pour $k \leqslant N - 1$, apparaît avec l'exposant $(-1)^{k+1}$, et $|H_N(C)[2]| = 1$, puisque $H_N(C)$ est un sous-groupe de $C_N \cong \mathbb Z^{c_N}$ ; on obtient la formule annoncée.

(iv) On applique (iii) au complexe cellulaire, dont les groupes sont les $\mathbb Z^{c_k}$ (Homologie cellulaire, (ii)), et dont l'homologie est isomorphe à celle de $X$ (même nœud, (i)). Des groupes isomorphes ont des quotients et des sous-groupes isomorphes, et une équivalence d'homotopie induit des isomorphismes en homologie (Invariance par homotopie, (ii)).

(v) On compte les cellules (Exemples) : $1 + (-1)^n$ pour la sphère, $1 - 2 + 1$ pour le tore, $1 - 2g + 1$ pour $\Sigma_g$, et $\sum_{k=0}^n (-1)^k$ pour $\mathbb RP^n$.