Homologie des sphères, du tore et des surfaces

(i) Le complexe cellulaire a $\mathbb Z$ en degrés $0$ et $n$, et $0$ ailleurs (Exemples, (i)). Pour $n \geqslant 2$, tous les bords sont nuls, faute de groupes voisins non nuls ; pour $n = 1$, $d_1(e) = [\Phi(1)] - [\Phi(-1)] = [S] - [S] = 0$ (Bord cellulaire, (i)). On conclut par Homologie cellulaire, (i). Ce calcul n'est pas une nouvelle démonstration de Homologie des sphères, sur laquelle repose la paire du disque ; il en est une vérification.

(ii) Les bords. Les deux cellules de dimension $1$ ont leurs deux extrémités en $x_0$ : $d_1 = 0$ (Bord cellulaire, (i)). Pour la cellule $\Phi_c$, avec $g = 1$ et les sommets $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$ de $Q$, on calcule $\lambda_1(s) = (s, -1)$, $\lambda_2(s) = (1, s)$, $\lambda_3(s) = (-s, 1)$, $\lambda_4(s) = (-1, -s)$, puis $$\begin{aligned} A(\lambda_1(s)) &= \big(\tfrac{1+s}2, 0\big), \\ A(\lambda_2(s)) &= \big(1, \tfrac{1+s}2\big), \\ A(\lambda_3(s)) &= \big(\tfrac{1-s}2, 1\big), \\ A(\lambda_4(s)) &= \big(0, \tfrac{1-s}2\big). \end{aligned}$$ Comme $P(1, v) = P(0, v)$ et $P(u, 1) = P(u, 0)$, il vient $\varphi_c \circ \psi_i(s) = \Phi_a(s)$, $\Phi_b(s)$, $\Phi_a(-s)$, $\Phi_b(-s)$ : la cellule est attachée le long du mot $aba^{-1}b^{-1}$, et $$d_2(e_c) = \eta\,(e_a + e_b - e_a - e_b) = 0$$ (Bord cellulaire, (iii)).

L'homologie. Le complexe cellulaire est $\mathbb Z \xleftarrow{0} \mathbb Z^2 \xleftarrow{0} \mathbb Z$, d'homologie $\mathbb Z$, $\mathbb Z^2$, $\mathbb Z$. Par l'isomorphisme du nœud Homologie cellulaire, (i), la base $e_a$, $e_b$ de $H^{\mathrm{cell}}_1$ correspond aux classes, dans $H_1(X^1)$ puis dans $H_1(T)$, des cycles $\Phi_a \circ \sigma_1$ et $\Phi_b \circ \sigma_1$. Or $$\begin{aligned} \Phi_a \circ \sigma_1(t_0, t_1) &= P\big(\tfrac{1 + t_1 - t_0}2, 0\big) \\ &= P(t_1, 0), \end{aligned}$$ qui est le lacet $a$, paramétré par $t_1$ comme au nœud Degré 0, point ; de même pour $b$.

(iii) La cellule de dimension $0$ étant unique, $d_1 = 0$. La cellule de dimension $2$ est attachée le long du mot $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1} \cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}$ (Exemples, (vi)), où chaque lettre apparaît deux fois, avec des signes opposés. Par Bord cellulaire, (iii), $$\begin{aligned} d_2(e) &= \eta\sum_{k=1}^g \big(e_{a_k} + e_{b_k} - e_{a_k} - e_{b_k}\big) \\ &= 0. \end{aligned}$$ Le complexe cellulaire est $\mathbb Z \xleftarrow{0} \mathbb Z^{2g} \xleftarrow{0} \mathbb Z$.

Équivalences d'homotopie. Une équivalence d'homotopie induit des isomorphismes en homologie (Invariance par homotopie, (ii)). Or $\mathbb Z^{2g}$ et $\mathbb Z^{2g'}$ ne sont pas isomorphes pour $g \neq g'$, puisque leurs quotients par les sous-groupes des éléments pairs ont $2^{2g}$ et $2^{2g'}$ éléments (Homologie réduite, preuve de (ii)) ; et $H_1(S^2) = 0$.