Calcul du bord cellulaire

(i) On a $j_0 = \mathrm{id}$, puisque $X^{-1}$ est vide. Par la formule du nœud Homologie cellulaire, $d_1(e_\alpha) = \varphi_{\alpha*}(\partial\iota_1)$, et $\partial\iota_1 = [1] - [-1]$ (Paire du disque, (iii)). Le groupe $H_0(X^0)$ est libre sur les points de l'espace discret $X^0$ (Degré 0, point, (ii)).

(ii) L'application $\varphi_\alpha$ est une application de paires de $(S^{n-1}, S')$ dans $(X^{n-1}, X^{n-2})$, et les morphismes induits par les inclusions commutent avec elle (Homologie relative, (ii)) : $j_{n-1} \circ \varphi_{\alpha*} = \varphi_{\alpha*} \circ j'$ sur $H_{n-1}(S^{n-1})$. On applique la formule du nœud Homologie cellulaire.

(iii) Par le point (iii) du nœud Exemples, le cercle s'obtient à partir de l'ensemble fini $V$ par l'attachement des arcs $\psi_i$, et $H_1(S^1, V)$ est libre de base les $u_i = \psi_{i*}(\iota_1)$ (Homologie d'un attachement). Les sommets $v_i = h^{-1}(w_i)$ vérifient $\psi_i(-1) = v_{i-1}$ et $\psi_i(1) = v_i$, les indices étant pris modulo $4g$.

Dans la suite exacte de la paire $(S^1, V)$, $H_1(V) = 0$, puisque $V$ est fini et discret, réunion de points ouverts disjoints (Paire du disque, (i), et Degré 0, point, (i)), et $j'$ est injectif, d'image le noyau de $\partial : H_1(S^1, V) \to H_0(V)$. Comme en (i), $\partial u_i = [v_i] - [v_{i-1}]$, d'où $$\partial\Big(\sum_i c_iu_i\Big) = \sum_i (c_i - c_{i+1})[v_i] ;$$ ce bord est nul si et seulement si tous les $c_i$ sont égaux. L'image de $j'$ est donc engendrée par $\sum_i u_i$ ; comme $\partial\iota_2$ engendre $H_1(S^1) \cong \mathbb Z$ (Paire du disque, (ii)), $j'(\partial\iota_2) = \eta\sum_i u_i$, avec $\eta = \pm 1$.

On applique (ii) avec $S' = V$, envoyé sur $X^0$ puisque $\Phi_\beta(\pm 1) \in X^0$. La composée $\varphi_\alpha \circ \psi_i$ est $\Phi_{\beta_i} \circ L_i$, avec $L_i(s) = \varepsilon_is$, et $L_{i*}\iota_1 = \varepsilon_i\iota_1$ (Degré, (iii) et (ii), l'application $-\mathrm{id}$ de $S^0$ étant une réflexion). Donc $\varphi_{\alpha*}(u_i) = \varepsilon_ie_{\beta_i}$.

(iv) Par le point (ii) du nœud Exemples, appliqué à $S^{n-1}$, la sphère $S^{n-1}$ s'obtient à partir de son équateur $S^{n-2}$ par l'attachement des deux hémisphères $\Phi^{n-1}_\pm$, et $H_{n-1}(S^{n-1}, S^{n-2})$ est libre de base $u_\pm = \Phi^{n-1}_{\pm*}(\iota_{n-1})$ (Homologie d'un attachement). Le morphisme $j'$ est injectif, puisque $H_{n-1}(S^{n-2}) = 0$ (Homologie des sphères, $n - 1 > n - 2$), et son image est le noyau de $\partial'$, morphisme de connexion de la paire.

Soit $r$ la réflexion de la dernière coordonnée de $\mathbb R^n$, de degré $-1$ sur $S^{n-1}$ (Degré, (ii)). Elle fixe l'équateur et échange les hémisphères, $r \circ \Phi^{n-1}_\pm = \Phi^{n-1}_\mp$, donc $r_*u_\pm = u_\mp$. Si $j'(\partial\iota_n) = au_+ + bu_-$, alors $$\begin{aligned} au_- + bu_+ &= r_*j'(\partial\iota_n) \\ &= j'(r_*\partial\iota_n) = -au_+ - bu_-, \end{aligned}$$ d'où $b = -a$.

Les deux hémisphères ont la même restriction à $S^{n-2}$, de sorte que $\partial'u_+ = \partial'u_-$ (Homologie relative, (ii)) : $u_+ - u_-$ appartient au noyau de $\partial'$, donc à l'image de $j'$. Comme $\partial\iota_n$ engendre $H_{n-1}(S^{n-1})$, il existe un entier $c$ tel que $u_+ - u_- = c\,a\,(u_+ - u_-)$, d'où $ca = 1$ et $a = \pm 1$.

Ainsi $j'(\partial\iota_n) = \eta(u_+ - u_-)$. On applique (ii) avec $S' = S^{n-2}$ : $\varphi_{\alpha*}(u_\pm) = \Phi_{\beta_\pm*}(L_{\pm*}\iota_{n-1}) = \deg L_\pm \cdot e_{\beta_\pm}$ (Degré, (iii)).