Théorème 5Homologie cellulaire

Homologie des espaces projectifs réels

Énoncé

Soit $n \geqslant 1$ , et $e_k$ la cellule de dimension $k$ de ${\mathbb RP^n}$ (Exemples, (iv)).

(i) Pour $1 \leqslant k \leqslant n$ , $d_k(e_k) = \pm\big(1 + (-1)^k\big)\,e_{k-1}$ : le bord est nul en dimension impaire, et vaut $\pm 2e_{k-1}$ en dimension paire.

(ii) Par conséquent, $H_0(\mathbb RP^n) \cong \mathbb Z$ , $H_k(\mathbb RP^n) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ pour $k$ impair, $0 < k < n$ , $H_n(\mathbb RP^n) \cong \mathbb Z$ si $n$ est impair, et $H_k(\mathbb RP^n) = 0$ dans tous les autres cas.

Démonstration

(i) Pour $k = 1$ , $d_1(e_1) = [\Psi_1(1)] - [\Psi_1(-1)] = [q(1, 0)] - [q(-1, 0)] = 0$ (Bord cellulaire, (i)), les deux points $(\pm 1, 0)$ ayant la même classe.

Soit $k \geqslant 2$ . L'application d'attachement $\varphi$ de $\Psi_k$ est $z \mapsto q(z)$ sur $S^{k-1}$ (Exemples, (iv)). Elle envoie l'équateur $S^{k-2}$ sur $q(S^{k-2}) = X^{k-2}$ , et, pour $w \in D^{k-1}$ , $\begin{aligned} \varphi\big(\Phi^{k-1}_+(w)\big) &= q\big(w, \sqrt{1 - \|w\|^2}\big) \\ &= \Psi_{k-1}(w), \\ \varphi\big(\Phi^{k-1}_-(w)\big) &= q\big(-w, \sqrt{1 - \|w\|^2}\big) \\ &= \Psi_{k-1}(-w), \end{aligned}$ puisque $q(x) = q(-x)$ . Le point (iv) du nœud Bord cellulaire s'applique, avec $L_+ = \mathrm{id}$ et $L_- = -\mathrm{id}$ , de degré $(-1)^{k-1}$ sur $S^{k-2}$ (Degré, (ii)) : $\begin{aligned} d_k(e_k) &= \eta\,\big(1 - (-1)^{k-1}\big)\,e_{k-1} \\ &= \eta\,\big(1 + (-1)^k\big)\,e_{k-1}. \end{aligned}$

Pour

\mathbb RP^2

, le disque est l'hémisphère supérieur de

S^2

vu d'en haut, image de la cellule de dimension

2

. Son bord est recollé par l'antipodie : l'arc supérieur, en rouge, est la cellule de dimension

1

, et l'arc inférieur, en pointillé, lui est identifié point par point, comme

z

-z

. Les flèches montrent que le bord parcourt deux fois la cellule de dimension

1

dans le même sens :

d_2(e_2) = \pm 2e_1

(ii) Le complexe cellulaire est $\mathbb Z$ en chaque degré $0 \leqslant k \leqslant n$ , avec $d_k = 0$ pour $k$ impair et $d_k = \pm 2$ pour $k$ pair. En degré $0$ , $H_0 = \mathbb Z$ . En degré $k$ impair avec $0 < k < n$ , le noyau de $d_k$ est $\mathbb Z$ et l'image de $d_{k+1}$ est $2\mathbb Z$ , d'où $\mathbb Z/2\mathbb Z$ . En degré $k$ pair, $k \geqslant 2$ , le noyau de la multiplication par $\pm 2$ est nul. En degré $n$ impair, il n'y a pas de cellule de dimension $n + 1$ , et $H_n = \mathbb Z$ . On conclut par Homologie cellulaire, (i).

□

Remarque

Le chapitre Produit cup, branche voisine de celle-ci, obtient $H^k(\mathbb RP^n; \mathbb F_2) \cong \mathbb F_2$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$ , sans cellules et sans choix, par la suite exacte du revêtement double (Anneau de ℝPⁿ). Le théorème des coefficients universels (Coefficients universels), dont la démonstration emploie le choix pour le complexe singulier, prédit ce résultat à partir de (ii) : en degré $k$ impair, $\operatorname{Hom}(H_k, \mathbb F_2) \cong \mathbb F_2$ et $\operatorname{Ext}(H_{k-1}, \mathbb F_2) = 0$ , puisque $H_{k-1}$ est nul ou isomorphe à $\mathbb Z$ ; en degré pair $k \geqslant 2$ , $\operatorname{Hom}(H_k, \mathbb F_2) = 0$ et $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/2\mathbb Z, \mathbb F_2) \cong \mathbb F_2$ . Les deux calculs concordent ; seul le premier est sans choix.

Remarque

La concordance se voit aussi sur les cellules : réduits modulo $2$ , les bords $\pm(1 + (-1)^k)$ sont tous nuls, et le complexe $\operatorname{Hom}(C^{\mathrm{cell}}(\mathbb RP^n), \mathbb F_2)$ a un cobord nul et un $\mathbb F_2$ en chaque degré de $0$ à $n$ . L'identification de cette cohomologie cellulaire à la cohomologie singulière est admise ici (Homologie cellulaire).

Remarque

Le groupe $H_1(\mathbb RP^n) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ , pour $n \geqslant 2$ , est le groupe fondamental ${\pi_1}(\mathbb RP^n)$ , commutatif (Espaces projectifs), comme le veut le théorème de Hurewicz (Exemples, (iv)) ; pour $n = 1$ , $H_1(\mathbb RP^1) \cong \mathbb Z$ , comme pour un cercle. Le groupe $H_n(\mathbb RP^n)$ vaut $\mathbb Z$ exactement quand $n$ est impair : c'est le signe homologique de l'orientabilité, que l'on ne développe pas.

Remarque

Le même procédé s'applique à l'espace projectif complexe $\mathbb CP^n$ , quotient de la sphère unité de $\mathbb C^{n+1}$ par les nombres complexes de module $1$ , qui porte une structure cellulaire à une cellule en chaque dimension paire $0, 2, \dots, 2n$ . Faute de cellules en dimension impaire, tous les bords sont nuls, et $H_k(\mathbb CP^n) \cong \mathbb Z$ pour $k$ pair au plus $2n$ , $0$ sinon (Homologie cellulaire, (ii)). La structure cellulaire est admise ici, les nombres complexes n'étant pas en amont de cette théorie.

Repose sur

Calcul du bord cellulaire

Sert à

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