Proposition 4Homologie cellulaire

Sphères, cercle découpé, espaces projectifs, tore et surfaces

Pour $0 \leqslant k \leqslant n$ , on identifie $S^k$ à la partie de ${S^n}$ formée des points dont les $n - k$ dernières coordonnées sont nulles. On pose, pour $k \geqslant 1$ et $z \in D^k$ , $\Phi^k_\pm(z) = \Big(z,\ \pm\sqrt{1 - \|z\|^2}\Big) \in S^k,$ et $\Phi^0_\pm = \pm 1 \in S^0$ .

Soit $Q = [-1, 1]^2$ et $h : D^2 \to Q$ l'homéomorphisme $x \mapsto \frac{\|x\|_2}{\|x\|_\infty}x$ du nœud Calottes, (ii) ; comme $\|h(x)\|_\infty = \|x\|_2$ , il envoie $S^1$ sur le bord $\partial Q$ du carré et $B^2$ sur son intérieur. Pour $g \geqslant 1$ , on parcourt $\partial Q$ dans le sens direct à partir du coin $(-1, -1)$ , et l'on partage chacun des quatre côtés en $g$ segments de même longueur ; on obtient $4g$ segments consécutifs, de sommets $w_0, w_1, \dots, w_{4g} = w_0$ . On pose, pour $1 \leqslant i \leqslant 4g$ et $s \in [-1, 1]$ , $\begin{aligned} \lambda_i(s) &= \tfrac{1 - s}2\,w_{i-1} + \tfrac{1 + s}2\,w_i, \\ \psi_i &= h^{-1} \circ \lambda_i : D^1 \to S^1. \end{aligned}$

Énoncé

(i) Sphère, deux cellules. Pour $n \geqslant 1$ , $S^n$ s'obtient à partir du point $S = (0, \dots, 0, -1)$ par l'attachement d'une cellule de dimension $n$ , d'application caractéristique $\Phi(z) = \Big(2\sqrt{1 - \|z\|^2}\;z,\ 1 - 2\|z\|^2\Big).$ Avec $X^0 = \cdots = X^{n-1} = \{S\}$ , c'est un complexe cellulaire fini.

(ii) Sphère, hémisphères. Les squelettes $X^k = S^k$ , pour $0 \leqslant k \leqslant n$ , et les applications $\Phi^k_+$ et $\Phi^k_-$ font de $S^n$ un complexe cellulaire fini à deux cellules en chaque dimension.

(iii) Cercle découpé. Le cercle $S^1$ s'obtient à partir de l'ensemble fini $V = \{h^{-1}(w_i)\}$ par l'attachement des $4g$ cellules $\psi_1, \dots, \psi_{4g}$ de dimension $1$ .

(iv) Espaces projectifs. Pour $n \geqslant 1$ , l'espace projectif $\mathbb RP^n$ est séparé. Les squelettes $X^k = q(S^k)$ , pour $0 \leqslant k \leqslant n$ , et les applications $\Psi_k = q \circ \Phi^k_+$ en font un complexe cellulaire fini à une cellule en chaque dimension ; pour $k \geqslant 1$ , l'application d'attachement de $\Psi_k$ est $z \mapsto q(z)$ , sur $S^{k-1}$ .

(v) Tore. Avec les notations du nœud Ouverts du tore, le tore $T$ est un complexe cellulaire fini, de squelettes $X^0 = \{x_0\}$ , où $x_0 = P(0, 0) = (e, e)$ est le point base du nœud Bouquet de deux cercles, et non celui du nœud des ouverts du tore, $X^1 = W$ et $X^2 = T$ , de cellules de dimension $1$ $\begin{aligned} \Phi_a(s) &= P\big(\tfrac{1+s}2, 0\big), \\ \Phi_b(s) &= P\big(0, \tfrac{1+s}2\big), \end{aligned}$ pour $s \in D^1 = [-1, 1]$ , et d'une cellule de dimension $2$ , d'application caractéristique $\Phi_c = P \circ A \circ h$ , où $A(y) = \frac12\big(y + (1, 1)\big)$ envoie $Q$ sur le carré $C = I \times I$ .

(vi) Surfaces. Soit $W_{2g}$ le bouquet de $2g$ cercles obtenu en attachant à un point $x_0$ des cellules $\Phi_{a_1}, \Phi_{b_1}, \dots, \Phi_{a_g}, \Phi_{b_g}$ de dimension $1$ (Attachement de cellules). Pour $1 \leqslant k \leqslant g$ et $s \in D^1$ , on pose $\begin{aligned} \varphi(\psi_{4k-3}(s)) &= \Phi_{a_k}(s), \\ \varphi(\psi_{4k-2}(s)) &= \Phi_{b_k}(s), \\ \varphi(\psi_{4k-1}(s)) &= \Phi_{a_k}(-s), \\ \varphi(\psi_{4k}(s)) &= \Phi_{b_k}(-s). \end{aligned}$ Ces formules définissent une application continue $\varphi : S^1 \to W_{2g}$ , et la surface orientable de genre $g$ est le complexe cellulaire fini $\Sigma_g = W_{2g} \cup_\varphi D^2,$ à une cellule de dimension $0$ , $2g$ cellules de dimension $1$ et une cellule de dimension $2$ , attachée le long du mot $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1} \cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}$ .

Démonstration

(i) Pour $z \in D^n$ , $\begin{aligned} \|\Phi(z)\|^2 &= 4(1 - \|z\|^2)\|z\|^2 \\ &\quad + (1 - 2\|z\|^2)^2 = 1, \end{aligned}$ et $\Phi$ est continue, à valeurs dans $S^n$ , avec $\Phi(S^{n-1}) = \{S\}$ . Soit $y = (y', y_{n+1}) \in S^n$ avec $y_{n+1} > -1$ , et $\varrho = \frac{1 - y_{n+1}}2 \in [0, 1[$ . Un point $z \in B^n$ vérifie $\Phi(z) = y$ si et seulement si $\|z\|^2 = \varrho$ et $z = \frac{y'}{2\sqrt{1 - \varrho}}$ ; ce point convient, puisque $\frac{\|y'\|^2}{4(1 - \varrho)} = \frac{(1 - y_{n+1})(1 + y_{n+1})}{2(1 + y_{n+1})} = \varrho.$ Ainsi $\Phi$ est une bijection de $B^n$ sur $S^n \setminus \{S\}$ . La sphère est séparée, et $\{S\}$ est fermé ; les squelettes intermédiaires s'obtiennent en n'attachant aucune cellule.

(ii) Pour $1 \leqslant k \leqslant n$ , $S^{k-1}$ est fermée dans $S^k$ , et $\Phi^k_\pm$ est continue, à valeurs dans $S^k$ , avec $\Phi^k_\pm(S^{k-1}) = S^{k-1}$ . Elle est injective, puisque $z$ se lit sur les premières coordonnées. Enfin $S^k \setminus S^{k-1}$ est formé des points de dernière coordonnée $x_{k+1}$ non nulle ; ceux pour lesquels $x_{k+1} > 0$ sont les $\Phi^k_+(z)$ , avec $z = (x_1, \dots, x_k) \in B^k$ , et ceux pour lesquels $x_{k+1} < 0$ les $\Phi^k_-(z)$ . Pour $k = 0$ , $S^0$ est formé des deux points $\pm 1$ .

(iii) Les applications $\lambda_i$ sont continues et injectives, et leurs images sont les $4g$ segments, qui recouvrent $\partial Q$ ; deux segments consécutifs ne se rencontrent qu'en leur sommet commun, et deux segments non consécutifs ne se rencontrent pas. Ainsi $\partial Q$ privé des sommets est la réunion disjointe des $\lambda_i(]{-1}, 1[)$ . On transporte cette description par l'homéomorphisme $h^{-1}$ ; l'ensemble $V$ est fini, donc fermé.

(iv) Séparation. L'application $x \mapsto (x_ix_j)_{i, j}$ , de $S^n$ dans $\mathbb R^{(n+1)^2}$ , est continue et constante sur les classes ; elle induit une application continue $M$ sur $\mathbb RP^n$ (Topologie quotient). Elle est injective : si $x_ix_j = y_iy_j$ pour tous $i, j$ , alors, pour chaque $i$ , $\begin{aligned} y_i &= \sum_j y_j\,(y_jy_i) = \sum_j y_jx_jx_i \\ &= \langle x, y \rangle\,x_i, \end{aligned}$ de sorte que $y = \langle x, y \rangle x$ , avec $|\langle x, y \rangle| = \|y\| = 1$ , et $y = \pm x$ . Deux points distincts de $\mathbb RP^n$ ont donc des images distinctes, séparées par des ouverts disjoints dont les images réciproques par $M$ sont ouvertes et disjointes.

Les cellules. Chaque $X^k$ est compact, image du compact $S^k$ , donc fermé. On a $\Psi_k(S^{k-1}) = q(S^{k-1}) = X^{k-1}$ . Si $q(z, s) = q(z', s')$ avec $s, s' > 0$ , alors $(z', s') = \pm(z, s)$ , et le signe est $+$ : $\Psi_k$ est injective sur $B^k$ . Un point de $X^k \setminus X^{k-1}$ est la classe $q(x)$ d'un point $x \in S^k$ de dernière coordonnée $x_{k+1}$ non nulle, propriété qui ne dépend pas du représentant ; celui des deux représentants pour lequel $x_{k+1} > 0$ est un $\Phi^k_+(z)$ avec $z \in B^k$ . Enfin $X^0 = q(S^0)$ est un point, et, pour $z \in S^{k-1}$ , $\Psi_k(z) = q(z, 0)$ .

(v) Le tore est séparé, et ses parties $\{x_0\}$ et $W$ sont fermées (Bouquet de deux cercles, preuve de (ii)). Les applications $\Phi_a$ et $\Phi_b$ sont continues, envoient $\pm 1$ sur $x_0$ , et sont injectives sur $]{-1}, 1[$ , puisque $p$ est injective sur $]0, 1[$ (Ouverts du tore, preuve de (i)) ; comme $p(]0, 1[) = S^1 \setminus \{e\}$ , l'ensemble $W \setminus \{x_0\}$ est la réunion disjointe de leurs images. L'application $A \circ h$ est un homéomorphisme de $D^2$ sur $C$ , qui envoie $S^1$ sur le bord de $C$ et $B^2$ sur son intérieur ; on conclut par le point (i) du nœud Ouverts du tore : $P(\partial C) = W$ , $P$ est injective sur l'intérieur de $C$ , et l'envoie sur $T \setminus W$ .

(vi) Deux arcs $\psi_i$ ne se rencontrent qu'en des points de $V$ , où toutes les formules prennent la valeur $x_0$ , puisque $\Phi_\beta(\pm 1) = x_0$ pour chaque cellule $\beta$ du bouquet : $\varphi$ est bien définie. Elle est continue par le nœud Recollement de compacts, (ii), $S^1$ étant la réunion des images des $\psi_i$ et chaque composée $\varphi \circ \psi_i$ étant continue. Le bouquet $W_{2g}$ est un complexe cellulaire fini de dimension $1$ , et $\Sigma_g$ en est un de dimension $2$ (Attachement de cellules, (ii)).

□

Remarque

La surface $\Sigma_1$ est homéomorphe au tore. Le bouquet $W$ du tore s'obtient à partir de $x_0$ par les cellules $\Phi_a$ et $\Phi_b$ ; par le point (iii) du nœud Attachement de cellules, il existe un homéomorphisme $\theta$ de $W$ sur $W_2$ tel que $\theta \circ \Phi_a = \Phi_{a_1}$ et $\theta \circ \Phi_b = \Phi_{b_1}$ . L'application d'attachement $\varphi_c$ de $\Phi_c$ suit le même mot $aba^{-1}b^{-1}$ que $\varphi$ , comme le calculera le nœud Tore et surfaces, de sorte que $\theta \circ \varphi_c = \varphi$ . L'application égale à $\theta^{-1}$ sur $W_2$ et à $\Phi_c$ sur le disque passe donc au quotient $\Sigma_1$ ; c'est une bijection continue du compact $\Sigma_1$ sur le séparé $T$ , donc un homéomorphisme.

Remarque

Que $\Sigma_g$ soit une surface, c'est-à-dire que chacun de ses points ait un voisinage homéomorphe à un disque ouvert, est admis ici : la difficulté contournée est le point $x_0$ , autour duquel il faut recoller les $4g$ coins du carré, dont les secteurs se succèdent dans l'ordre que dicte le mot. Ce n'est pas utilisé ; seule la structure cellulaire sert au calcul de l'homologie.

Remarque

La sphère porte ainsi deux structures cellulaires, l'une à deux cellules, l'autre à $2n + 2$ . Les nombres de cellules diffèrent, mais pas leur somme alternée, $1 + (-1)^n$ dans les deux cas : c'est le premier exemple du théorème d'Euler-Poincaré (Euler-Poincaré).

Repose sur

Construction par attachement de cellules

Sert à

Calcul du bord cellulaire Caractéristique d'Euler-Poincaré