Construction par attachement de cellules

(i) Séparation. Distinguons les points $\pi(j, z)$, avec $z \in B^n$, classes réduites à un point, et les points $\pi(y)$, pour $y \in Y$. Il suffit de séparer deux points distincts du quotient par des ouverts saturés disjoints de la somme, dont les images sont alors des ouverts disjoints.

Deux points $\pi(j, z)$ et $\pi(j', z')$ distincts sont séparés par $\{j\} \times B^n$ et $\{j'\} \times B^n$ si $j \neq j'$, et par deux boules ouvertes disjointes de $B^n$, placées dans la copie $j$, si $j = j'$. Un point $\pi(j, z)$ et un point $\pi(y)$ sont séparés, avec $r = \frac{1 + \|z\|}2 < 1$, par la boule $\{j\} \times \{w : \|w\| < r\}$ et par la réunion de $Y$ et des couronnes $\{i\} \times \{w : r < \|w\| \leqslant 1\}$, saturée puisqu'elle contient $Y$ et tous les points des bords.

Soient enfin $y \neq y'$ dans $Y$, et $U$, $U'$ des ouverts disjoints de $Y$ qui les contiennent. On pose $$\begin{aligned} \hat U = U \cup \Big\{(j, w) :\ &\|w\| > \tfrac12, \\ &\tfrac{w}{\|w\|} \in \varphi_j^{-1}(U)\Big\}, \end{aligned}$$ et de même $\hat U'$. La trace de $\hat U$ sur la copie $j$ est l'image réciproque de l'ouvert $\varphi_j^{-1}(U)$ de $S^{n-1}$ par l'application continue $w \mapsto w/\|w\|$, sur la couronne ouverte $\|w\| > \frac12$ : $\hat U$ est ouvert. Il est saturé, car un point $(j, z)$ du bord est dans $\hat U$ si et seulement si $\varphi_j(z) \in U$, c'est-à-dire si le point de $Y$ de sa classe est dans $U$. Enfin $\hat U$ et $\hat U'$ sont disjoints, comme $U$ et $U'$.

Compacité. $X$ est la réunion des images de $Y$ et des copies de $D^n$ par les applications continues $\pi|_Y$ et $\Phi_j$ ; il est compact (Recollement de compacts, (i)). La restriction de $\pi$ à $Y$ est injective, chaque classe contenant au plus un point de $Y$ : c'est une bijection continue du compact $Y$ sur $\pi(Y)$, donc un homéomorphisme (Bijection d'un compact), et $\pi(Y)$, compact, est fermé.

(ii) On a $\Phi_j(S^{n-1}) \subset \pi(Y)$, puisque $\pi(j, z) = \pi(\varphi_j(z))$ pour $z \in S^{n-1}$ ; $\Phi_j$ est injective sur $B^n$, et $X \setminus \pi(Y)$ est la réunion disjointe des $\Phi_j(B^n)$, par la description des classes. Le second énoncé en découle, en ajoutant aux squelettes de $Y$ le squelette $X^n = X$.

(iii) L'application $\Psi$ de la somme dans $X'$, égale à l'inclusion sur $Y$ et à $(j, z) \mapsto \Phi'_j(z)$ sur les copies, est continue, et constante sur les classes, puisque $\Phi'_j(z) = \varphi_j(z)$ sur le bord. Elle induit une application continue $\bar\Psi$ du quotient dans $X'$ (Topologie quotient), qui est celle de l'énoncé. Elle est surjective, par la définition de l'attachement, et injective : elle l'est sur $Y$ et sur chaque cellule, et les cellules de $X'$ sont disjointes entre elles et de $Y$. C'est une bijection continue d'un compact sur un séparé, donc un homéomorphisme.