Proposition 2Homologie cellulaire

L'homologie de la paire (Dⁿ, Sⁿ⁻¹)

Pour $n \geqslant 1$ , $D^n$ est la boule unité fermée de ${\mathbb R^n}$ pour la norme euclidienne, ${S^{n-1}}$ son bord (Brouwer, dimension), et $B^n = \{z : \|z\| < 1\}$ la boule ouverte. Par convention, $D^0 = B^0$ est un point (Calottes), et $S^{-1} = \varnothing$ .

Énoncé

(i) Réunion disjointe. Si $X$ est la réunion d'une famille $(X_j)_{j \in J}$ d'ouverts deux à deux disjoints et si $A \subset X$ , les inclusions induisent un isomorphisme $\bigoplus_{j \in J} {H_n}(X_j, A \cap X_j) \to H_n(X, A).$

(ii) Pour $n \geqslant 0$ , $H_k(D^n, S^{n-1}) \cong {\mathbb Z}$ si $k = n$ , et $H_k(D^n, S^{n-1}) = 0$ sinon. Le morphisme de connexion $\partial : H_n(D^n, S^{n-1}) \to {\tilde H_{n-1}}(S^{n-1})$ est un isomorphisme.

(iii) Le groupe $H_1(D^1, S^0)$ est engendré par la classe du simplexe $\sigma_1 : \Delta_1 \to [-1, 1]$ , $(t_0, t_1) \mapsto t_1 - t_0$ , qui parcourt le segment de $-1$ à $1$ ; son bord est $[1] - [-1]$ .

On note $\iota_n$ un générateur de $H_n(D^n, S^{n-1})$ , et l'on prend pour $\iota_0$ la classe du point et $\iota_1 = [\sigma_1]$ .

Démonstration

(i) L'image d'un simplexe singulier est connexe par arcs, comme la partie convexe $\Delta_n$ , donc connexe (Chemins, (iii)). Elle rencontre l'ouvert $X_j$ qui contient l'un de ses points, et ne rencontre pas la réunion des autres $X_k$ , ouverte et disjointe de $X_j$ : elle est contenue dans $X_j$ .

Ainsi la base des simplexes de $X$ est la réunion disjointe de celles des $X_j$ , et $C(X)$ est la somme directe des sous-complexes $C(X_j)$ ; de même pour $C(A)$ , d'où $C(X, A) = \bigoplus_j C(X_j, A \cap X_j)$ . Les cycles et les bords d'une somme directe de complexes sont les sommes directes des cycles et des bords, et il en va de même de l'homologie.

(ii) La boule $D^n$ est convexe et non vide : son homologie réduite est nulle (Homologie réduite, (iii)), et $\partial : H_k(D^n, S^{n-1}) \to \tilde H_{k-1}(S^{n-1})$ est un isomorphisme pour tout $k$ (Homologie relative, (iv)).

Pour $n \geqslant 2$ , $\tilde H_{k-1}(S^{n-1})$ vaut $\mathbb Z$ si $k = n$ et $0$ sinon, par Homologie des sphères et Homologie réduite, (i) et (ii), la sphère $S^{n-1}$ étant connexe par arcs. Pour $n = 1$ , $S^0$ a deux points : $\tilde H_0(S^0) \cong \mathbb Z$ , et les autres groupes sont nuls. Pour $n = 0$ , $S^{-1}$ est vide : $\tilde H_{-1}(\varnothing) = \mathbb Z$ , et les autres groupes sont nuls.

(iii) Le simplexe $\sigma_1$ est continu, et il envoie $e_0$ sur $-1$ et $e_1$ sur $1$ . Son bord est $\sigma_1 \circ \delta_0 - \sigma_1 \circ \delta_1 = [1] - [-1],$ chaîne de $S^0$ : c'est un cycle relatif. Par Homologie relative, (i), $\partial[\sigma_1]$ est la classe de $[1] - [-1]$ , qui engendre $\tilde H_0(S^0)$ (Homologie réduite, preuve de (ii)) ; comme $\partial$ est un isomorphisme, $[\sigma_1]$ engendre $H_1(D^1, S^0)$ .

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Remarque

Le générateur $\iota_n$ représente « le disque lui-même », une chaîne dont le bord est sur la sphère. Il y en a deux, opposés, et les énoncés qui suivent valent pour l'un comme pour l'autre. Un énoncé ne fait intervenir qu'un nombre fini de dimensions, et y fixer ces générateurs ne demande qu'un nombre fini de choix, permis sans axiome.

Remarque

Le point (i) vaut pour une famille quelconque d'ouverts, la somme directe étant formée des familles nulles sauf pour un nombre fini d'indices. Aucun choix n'intervient : chaque simplexe désigne lui-même l'ouvert qui le contient.

Repose sur

Homologie relative et suite exacte d'une paire

Sert à

Degré d'une application de la sphère dans elle-même Homologie relative d'un attachement de cellules