Définition 1Homologie cellulaire

Homologie relative et suite exacte d'une paire

Une paire $(X, A)$ est formée d'un espace topologique $X$ et d'une partie $A$ , munie de la topologie induite. Une application de paires $f : (X, A) \to (Y, B)$ est une application continue $f : X \to Y$ telle que $f(A) \subset B$ . Deux telles applications $f$ et $g$ sont homotopes comme applications de paires s'il existe une application continue $F : X \times I \to Y$ telle que $F(x, 0) = f(x)$ , $F(x, 1) = g(x)$ et $F(A \times I) \subset B$ .

Le complexe $C(A)$ des chaînes singulières de $A$ est un sous-complexe de $C(X)$ (Réunion croissante). Le complexe des chaînes relatives est le quotient $C_n(X, A) = C_n(X)/C_n(A),$ muni du bord induit, bien défini puisque $\partial C_{n+1}(A) \subset C_n(A)$ . Comme $C_n(A)$ est engendré par une partie de la base de $C_n(X)$ , c'est un groupe abélien libre, de base les classes des simplexes de $X$ qui ne sont pas à valeurs dans $A$ .

L'homologie relative de la paire est l'homologie ${H_n}(X, A)$ de ce complexe. Une chaîne $c \in C_n(X)$ dont le bord est une chaîne de $A$ est un cycle relatif ; sa classe $[c]$ appartient à $H_n(X, A)$ , et tout élément de $H_n(X, A)$ est de cette forme. On a $C(X, \varnothing) = C(X)$ , donc $H_n(X, \varnothing) = {H_n}(X)$ .

Énoncé

(i) Suite exacte de la paire. Les inclusions $i : A \to X$ et $j : (X, \varnothing) \to (X, A)$ induisent une suite exacte longue $\begin{aligned} \cdots \to H_n(A) &\xrightarrow{i_*} H_n(X) \\ &\xrightarrow{j_*} H_n(X, A) \\ &\xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \to \cdots \end{aligned}$ dont le morphisme de connexion est donné par $\partial[c] = [\partial c]$ pour tout cycle relatif $c$ .

(ii) Naturalité. Soit $(\alpha, \beta, \gamma)$ un morphisme d'une suite exacte courte de complexes $0 \to K \to L \to M \to 0$ vers une autre, $0 \to K' \to L' \to M' \to 0$ , c'est-à-dire trois morphismes de complexes qui commutent avec les flèches des deux suites. Les morphismes induits commutent avec ceux des deux suites exactes longues, et, pour les morphismes de connexion, $\delta' \circ \gamma_* = \alpha_* \circ \delta$ .

En particulier, une application de paires $f : (X, A) \to (Y, B)$ induit des morphismes $f_* : H_n(X, A) \to H_n(Y, B)$ , avec $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*$ , qui commutent avec ceux des suites exactes des deux paires : $f_* \circ \partial = \partial \circ f_*$ .

(iii) Homotopie. Deux applications de paires homotopes comme applications de paires induisent les mêmes morphismes en homologie relative.

(iv) Version réduite. Pour toute partie $A$ de $X$ , vide ou non, il existe une suite exacte longue $\begin{aligned} \cdots \to {\tilde H_n}(A) &\to \tilde H_n(X) \\ &\to H_n(X, A) \\ &\xrightarrow{\partial} \tilde H_{n-1}(A) \to \cdots \end{aligned}$ formée des mêmes morphismes, et naturelle comme en (ii). En particulier, si l'homologie réduite de $X$ est nulle en tout degré, par exemple si $X$ est une partie étoilée non vide de ${\mathbb R^m}$ , le morphisme $\partial : H_n(X, A) \to \tilde H_{n-1}(A)$ est un isomorphisme pour tout $n$ .

Démonstration

(i) L'inclusion $C(A) \to C(X)$ est injective, et la projection $C(X) \to C(X, A)$ est surjective, de noyau $C(A)$ : on obtient une suite exacte courte de complexes, et l'on applique le nœud Suite exacte longue.

Un cycle de $C_n(X, A)$ est la classe d'un cycle relatif $c$ , que l'on peut prendre pour relèvement dans la définition du morphisme de connexion ; son bord $\partial c$ est une chaîne de $A$ , qui est son propre antécédent par l'inclusion. Donc $\partial[c] = [\partial c]$ .

(ii) Soit $c$ un cycle de $M_n$ , $b \in L_n$ un relèvement de $c$ et $a \in K_{n-1}$ tel que $\partial b$ soit l'image de $a$ , de sorte que $\delta[c] = [a]$ . Alors $\beta(b)$ relève $\gamma(c)$ , puisque les flèches commutent, et $\partial\beta(b) = \beta(\partial b)$ est l'image de $\alpha(a)$ dans $L'_{n-1}$ . Donc $\delta'[\gamma(c)] = [\alpha(a)] = \alpha_*\delta[c]$ . La commutation des autres carrés vient de la fonctorialité (Complexes de chaînes, (ii)).

Pour une application de paires, $f_\#$ envoie $C(A)$ dans $C(B)$ , puisque $f \circ \sigma$ est à valeurs dans $B$ si $\sigma$ l'est dans $A$ ; il passe donc au quotient en un morphisme de complexes $C(X, A) \to C(Y, B)$ , et l'on obtient un morphisme de suites exactes courtes. La formule $(g \circ f)_\# = g_\# \circ f_\#$ (Homologie singulière, (ii)) passe aux quotients.

(iii) L'opérateur prisme $P$ du nœud Invariance par homotopie associe à un simplexe $\sigma$ une combinaison de simplexes $F \circ (\sigma \times \mathrm{id}) \circ \mu$ , avec $\mu$ affine. Si $\sigma$ est à valeurs dans $A$ , ils sont à valeurs dans $F(A \times I) \subset B$ : $P$ envoie $C(A)$ dans $C(B)$ , et passe aux quotients, où l'identité $\partial P + P\partial = g_\# - f_\#$ subsiste. On conclut par Complexes de chaînes, (iii).

(iv) Le complexe augmenté $\tilde C(A)$ (Homologie réduite) est un sous-complexe de $\tilde C(X)$ , avec l'identité de $\mathbb Z$ en degré $-1$ , puisqu'un point compte pour $1$ dans les deux augmentations. Le quotient $\tilde C(X)/\tilde C(A)$ vaut $C(X, A)$ en degré $n \geqslant 0$ , et $\mathbb Z/\mathbb Z = 0$ en degré $-1$ : c'est le complexe $C(X, A)$ .

La suite exacte courte $0 \to \tilde C(A) \to \tilde C(X) \to C(X, A) \to 0$ donne la suite annoncée, et (ii) sa naturalité. Si $\tilde H(X)$ est nul, $\partial$ est entouré de deux groupes nuls, donc bijectif ; une partie étoilée non vide a une homologie réduite nulle (Homologie réduite, (iii)).

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Remarque

L'homologie relative compte les chaînes de $X$ « modulo $A$ » : un cycle relatif peut avoir un bord, pourvu que ce bord soit dans $A$ . Le segment $[-1, 1]$ parcouru de $-1$ à $1$ n'est pas un cycle, mais c'est un cycle relatif de la paire $([-1, 1], \{-1, 1\})$ , et le nœud Paire du disque montrera qu'il engendre $H_1([-1, 1], \{-1, 1\}) \cong \mathbb Z$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre $H_n(X, A)$ avec l'homologie du complémentaire $X \setminus A$ . Pour $X = [-1, 1]$ et $A = \{-1, 1\}$ , le complémentaire $]{-1}, 1[$ est convexe et n'a que l'homologie d'un point, alors que $H_1(X, A) \cong \mathbb Z$ . Le bon intermédiaire est le quotient $X/A$ , ici un cercle, comme l'établira le nœud Paires de bon type.

Remarque

Aucun choix n'intervient dans la suite exacte : pour un cycle relatif, le relèvement qu'exige la définition du morphisme de connexion (Suite exacte longue) est la chaîne elle-même.

Repose sur

Théorème de Jordan-Brouwer

Sert à

Le théorème d'excision L'homologie de la paire (Dⁿ, Sⁿ⁻¹)