Le théorème d'excision

(i) Appliquons le nœud Petites chaînes à l'ensemble d'ouverts $\mathcal U = \{\mathring A, \mathring B\}$, de réunion $X$. Il fournit des morphismes $D : C_n(X) \to C_{n+1}(X)$ et un morphisme de complexes $\rho = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$, à valeurs dans $C^{\mathcal U}(X)$, contenu dans $C(A) + C(B)$.

Pour un simplexe $\sigma$, la chaîne $D\sigma = \sum_{i < m(\sigma)} TS^i\sigma$ est une chaîne de l'image de $\sigma$ (Subdivision barycentrique, (iii)). Donc $D$ envoie $C(A)$ dans $C(A)$ et $C(B)$ dans $C(B)$ ; il en va de même de $\rho$, puisque $\partial$ conserve ces sous-complexes.

Notons $E = C(A) + C(B)$ et $\jmath : E \to C(X)$ l'inclusion. On a $\jmath \circ \rho = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$ sur $C(X)$, et $\rho \circ \jmath = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$ sur $E$, où $D$ envoie $E$ dans $E$. Par Complexes de chaînes, (iii), $\jmath_*$ et $\rho_*$ sont réciproques l'un de l'autre.

Comme $\jmath$, $\rho$ et $D$ conservent $C(A)$, ils passent aux quotients $E/C(A)$ et $C(X)/C(A)$, où les deux identités subsistent ; la même conclusion vaut pour ces quotients.

(ii) L'inclusion $C(B) \subset E$ induit un morphisme de complexes $C(B)/C(A \cap B) \to E/C(A)$, bien défini puisque $C(A \cap B) \subset C(A)$. Il est surjectif, car la classe de $a + b$, avec $a \in C(A)$ et $b \in C(B)$, est celle de $b$. Il est injectif : si $b \in C(B)$ appartient à $C(A)$, chacun des simplexes qui figurent dans $b$ est à valeurs dans $A$ et dans $B$, par unicité de l'écriture dans la base des simplexes, et $b \in C(A \cap B)$.

C'est donc un isomorphisme de complexes, et sa composée avec l'isomorphisme de (i) est induite par l'inclusion de paires.

(iii) Posons $B = X \setminus Z$. Son intérieur est $X \setminus \overline Z$, qui contient $X \setminus \mathring A$ ; donc $\mathring A \cup \mathring B = X$, et $A \cap B = A \setminus Z$. Réciproquement, (ii) découle de (iii) appliqué à $Z = X \setminus B$, contenu dans $\mathring A$ et d'adhérence $X \setminus \mathring B \subset \mathring A$.