Proposition 5Homologie cellulaire

Homologie des squelettes

Soit $X$ un complexe cellulaire fini de dimension $N$ , de squelettes $X^n$ , et, pour chaque cellule $\alpha$ de dimension $n$ , d'application caractéristique $\Phi_\alpha$ .

Énoncé

(i) ${H_k}(X^n, X^{n-1}) = 0$ pour $k \neq n$ , et $H_n(X^n, X^{n-1})$ est libre de base les classes $e_\alpha = \Phi_{\alpha*}(\iota_n)$ des cellules de dimension $n$ .

(ii) $H_k(X^n) = 0$ pour $k > n$ ; en particulier $H_k(X) = 0$ pour $k > N$ .

(iii) L'inclusion $X^n \to X$ induit un isomorphisme $H_k(X^n) \to H_k(X)$ pour $k < n$ , et un morphisme surjectif pour $k = n$ .

Démonstration

(i) Le squelette $X^n$ s'obtient à partir du compact $X^{n-1}$ (Complexes cellulaires, (iii)) par attachement des cellules de dimension $n$ ; on applique le nœud Homologie d'un attachement.

(ii) Récurrence sur $n$ , à partir de $X^{-1} = \varnothing$ , dont l'homologie est nulle. Dans la suite exacte de la paire $(X^n, X^{n-1})$ (Homologie relative, (i)), $H_k(X^{n-1}) \to H_k(X^n) \to H_k(X^n, X^{n-1}),$ les deux termes extrêmes sont nuls pour $k > n$ , par l'hypothèse de récurrence et par (i). Le terme du milieu l'est donc aussi.

(iii) Dans la suite exacte de la paire $(X^{n+1}, X^n)$ , $\begin{aligned} H_{k+1}(X^{n+1}, X^n) &\to H_k(X^n) \\ &\to H_k(X^{n+1}) \\ &\to H_k(X^{n+1}, X^n), \end{aligned}$ les deux groupes relatifs sont nuls pour $k < n$ , par (i), et le dernier l'est pour $k = n$ . L'inclusion $X^n \to X^{n+1}$ induit donc un isomorphisme en degré $k < n$ et une surjection en degré $n$ . On compose les inclusions $X^n \subset X^{n+1} \subset \cdots \subset X^N = X$ .

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Remarque

Le point (ii) dit que l'homologie s'arrête à la dimension. Il généralise le calcul des sphères (Homologie des sphères) et l'annulation de la cohomologie de $\mathbb RP^n$ au-delà du degré $n$ , que le nœud ℝPⁿ au-delà de n, dans une branche voisine, obtient par Mayer-Vietoris, sans cellules mais en suivant la même idée de recollement d'une boule.

Remarque

Le morphisme $H_n(X^n) \to H_n(X)$ n'est pas injectif en général. Le disque $D^2$ est un complexe cellulaire de squelette $X^1 = S^1$ , obtenu à partir d'un point par une cellule de dimension $1$ , auquel on attache une cellule de dimension $2$ par l'identité : $H_1(X^1) \cong \mathbb Z$ , alors que $H_1(D^2) = 0$ . C'est la cellule de dimension $2$ qui tue la classe du cercle.

Repose sur

Homologie relative d'un attachement de cellules

Sert à

Le complexe cellulaire calcule l'homologie